Уровень: 1 — основы; статус: [У] установлено
Нужно знать: Единицы и масштабы
Куда дальше: Гидростатическое равновесие и теорема вириала (в работе), Удельная мощность как мера сложности, Как структура мира зависит от констант (в работе)
Почему атом имеет размер \(10^{-8}\) см, самая большая холодная планета — размер Юпитера, а звёзды весят около \(10^{33}\) г, а не \(10^{20}\) или \(10^{45}\)? На эти вопросы можно ответить, не решая ни одного уравнения точно: достаточно понять, какие силы конкурируют, и приравнять их. Такие оценки — основной инструмент пособия. Они показывают, какие константы определяют масштаб явления, и поэтому лежат в основе всех рассуждений о том, как мир зависел бы от других значений констант (раздел «Тонкая настройка»).
В этой статье мы:
Определение 1 Π-теорема (Бакингем, 1914). Пусть физический закон связывает \(n\) размерных величин, размерности которых выражаются через \(k\) независимых базовых единиц. Тогда закон можно записать как связь между \(n - r\) безразмерными комбинациями \(\Pi_1,\dots,\Pi_{n-r}\), где \(r \le k\) — ранг матрицы размерностей.
Доказательство — линейная алгебра: величине \(q_1^{x_1}\cdots q_n^{x_n}\) соответствует вектор показателей \(x \in \mathbb{Q}^n\), а условие безразмерности — однородная система \(D x = 0\) с матрицей размерностей \(D\) размера \(k\times n\). Её решения образуют пространство размерности \(n - r\); любой базис этого пространства — набор независимых \(\Pi\).
Классический пример — сильный взрыв в атмосфере (Тейлор, 1950). Радиус ударной волны \(R\) зависит от выделившейся энергии \(E\), времени \(t\) и плотности воздуха \(\rho\); давление невозмущённого воздуха на ранней стадии несущественно. Четыре величины, три единицы (г, см, с):
import math
import astropy.constants as const
import astropy.units as u
import numpy as np
import sympy as sp
# столбцы — R, E, t, ρ; строки — показатели г, см, с
D = sp.Matrix([[0, 1, 0, 1],
[1, 2, 0, -3],
[0, -2, 1, 0]])
(pi,) = D.nullspace()
print("показатели (R, E, t, ρ):", list(pi / pi[0]))показатели (R, E, t, ρ): [1, -1/5, -2/5, 1/5]Единственная безразмерная комбинация — \(\Pi = R\,\rho^{1/5}/(E^{1/5}t^{2/5})\), поэтому \(R = \xi\,(Et^2/\rho)^{1/5}\) с числом \(\xi\), которое размерный анализ не определяет; для воздуха численное решение даёт \(\xi \approx 1\) (Тейлор, 1950). Тейлор применил этот закон к опубликованным фотографиям испытания «Тринити». Через \(t = 25\) мс после взрыва радиус огненного шара был около 140 м:
R, t, rho = 140 * u.m, 25 * u.ms, 1.2 * u.kg / u.m**3
E = (R**5 * rho / t**2).to(u.J)
kt = 4.184e12 * u.J # килотонна тротила
print(f"E ≈ {E:.1e} ≈ {float(E / kt):.0f} кт")E ≈ 1.0e+14 J ≈ 25 ктДвадцать с небольшим килотонн — правильный порядок: официальная оценка мощности того времени — около 20 кт У. Размерный анализ дал энергию взрыва по одной фотографии с масштабной линейкой. Чувствительность к ошибкам благоприятна: ошибка в \(R\) на 10 % даёт ошибку в \(E\) на 60 %, но не на порядок.
Масштабы обычного вещества задаются тремя константами взаимодействия и масс. Из \(\hbar\), \(c\), \(G\), \(e\) и масс частиц можно составить безразмерные комбинации, и именно они, а не сами \(\hbar\) или \(G\), имеют физический смысл: их значения не зависят от выбора единиц.
Определение 2 Безразмерные константы вещества: \[ \alpha = \frac{e^2}{\hbar c}, \qquad \alpha_G = \frac{G m_p^2}{\hbar c}, \qquad \beta = \frac{m_e}{m_p}. \] Здесь \(\alpha\) — постоянная тонкой структуры (заряд \(e\) в гауссовой системе), \(\alpha_G\) — гравитационный аналог \(\alpha\) для пары протонов. В натуральных единицах \(\alpha_G = (m_p/\Mpl)^2\).
hbar, c, G = (k.cgs.value for k in (const.hbar, const.c, const.G))
m_p, m_e = const.m_p.cgs.value, const.m_e.cgs.value
e = const.e.gauss.value # заряд в гауссовой системе
msun = const.M_sun.cgs.value
alpha = e**2 / (hbar * c)
alpha_G = G * m_p**2 / (hbar * c)
beta = m_e / m_p
print(f"α = 1/{1 / alpha:.3f}")
print(f"α_G = {alpha_G:.3e}")
print(f"β = 1/{1 / beta:.2f}")
print(f"α/α_G = {alpha / alpha_G:.2e}")α = 1/137.036
α_G = 5.906e-39
β = 1/1836.15
α/α_G = 1.24e+36Гравитационное притяжение двух протонов слабее электростатического отталкивания в \(\alpha/\alpha_G \approx 10^{36}\) раз. Происхождение этого числа неизвестно: Стандартная модель не предсказывает ни массы протона в планковских единицах, ни \(\alpha\) У. Все оценки ниже — степени этих констант с множителями порядка единицы.
Электрон, локализованный в области размером \(r\), имеет импульс \(p \sim \hbar/r\) по соотношению неопределённостей. Его энергия в поле протона \[ E(r) = \frac{\hbar^2}{2m_e r^2} - \frac{e^2}{r}. \] Минимум этой функции и есть оценка размера и энергии основного состояния:
r, hb, me, q = sp.symbols("r hbar m_e e", positive=True)
E_r = hb**2 / (2 * me * r**2) - q**2 / r
r_min = sp.solve(sp.diff(E_r, r), r)[0]
E_min = sp.simplify(E_r.subs(r, r_min))
print("r_min =", r_min, " E_min =", E_min)r_min = hbar**2/(e**2*m_e) E_min = -e**4*m_e/(2*hbar**2)Получились в точности боровский радиус \(a_0 = \hbar^2/(m_ee^2)\) и энергия \(-m_ee^4/(2\hbar^2) = -\alpha^2 m_ec^2/2\) — ответ уравнения Шрёдингера. Точное совпадение — удача (множители «порядка единицы» случайно оказались равны единице), но то, что масштаб правильный, — закономерность. Через безразмерные константы \[ a_0 = \frac{\hbar}{\alpha m_e c} = \frac{\bar\lambda_e}{\alpha}, \qquad \text{Ry} = \frac{\alpha^2}{2}\, m_ec^2, \] где \(\bar\lambda_e = \hbar/(m_ec)\) — комптоновская длина электрона. Атом в \(1/\alpha = 137\) раз больше комптоновской длины, поэтому электрон в атоме нерелятивистский: \(v/c \sim \alpha\).
a0 = hbar**2 / (m_e * e**2)
Ry = (alpha**2 * m_e * c**2 / 2 * u.erg).to(u.eV)
print(f"a₀ = {a0:.4e} см, Ry = {Ry:.3f}")a₀ = 5.2918e-09 см, Ry = 13.606 eVТвёрдое тело и жидкость — атомы, упакованные вплотную, на расстоянии нескольких \(a_0\) друг от друга. Отсюда плотность конденсированного вещества \(\rho \sim A m_p/(\text{несколько } a_0)^3\), где \(A\) — массовое число. Для воды (\(A = 18\), расстояние между молекулами около 3,1 Å \(\approx 6a_0\)) это даёт правильную величину:
rho_water = 18 * m_p / (3.1e-8)**3
print(f"ρ(вода) ≈ {rho_water:.2f} г/см³")ρ(вода) ≈ 1.01 г/см³Плотности почти всех твёрдых тел и жидкостей лежат между десятыми долями и двумя десятками г/см³ — следствие того, что размер атома слабо зависит от \(Z\) (внешние электроны видят экранированный заряд), а масса растёт пропорционально \(A\) У.
Холодное тело удерживается от сжатия теми же атомными силами, что определяют прочность вещества. Возьмём тело из водорода — основного вещества Вселенной. Гравитация начинает «раздавливать» атомы, когда гравитационная энергия, приходящаяся на один атом, сравнивается с атомной энергией связи \(\sim\alpha^2m_ec^2\); плотность вещества в этот момент — атом на объём \(a_0^3\). Опуская множители порядка единицы (\(M \sim \rho R^3\), \(\rho \sim m_p/a_0^3\)), получаем \[ \frac{G M m_p}{R} \sim \alpha^2 m_e c^2 \quad\Longrightarrow\quad R_{\max} \sim \left(\frac{\alpha}{\alpha_G}\right)^{1/2} a_0, \qquad M_{\max} \sim \left(\frac{\alpha}{\alpha_G}\right)^{3/2} m_p. \]
R_, alph, alphG, mp_, c_, G_ = sp.symbols("R alpha alpha_G m_p c G", positive=True)
a0_ = hb / (alph * me * c_)
M_ = mp_ * R_**3 / a0_**3
R_max = sp.solve(sp.Eq(G_ * M_ * mp_ / R_, alph**2 * me * c_**2), R_)[0]
# подставим G = α_G ħc/m_p² и сравним с ответом
claim = sp.sqrt(alph / alphG) * a0_
print("R_max совпадает:", sp.simplify(R_max.subs(G_, alphG * hb * c_ / mp_**2) - claim) == 0)
R_max_H = math.sqrt(alpha / alpha_G) * a0
M_max_H = (alpha / alpha_G) ** 1.5 * m_p
R_J, M_J = const.R_jup.cgs.value, const.M_jup.cgs.value
print(f"R_max ≈ {R_max_H:.1e} см = {R_max_H / R_J:.2f} R_Юп")
print(f"M_max ≈ {M_max_H:.1e} г = {M_max_H / M_J:.2f} M_Юп")R_max совпадает: True
R_max ≈ 5.9e+09 см = 0.82 R_Юп
M_max ≈ 2.3e+30 г = 1.21 M_ЮпОценка даёт массу и радиус Юпитера. Это не совпадение: у тела массивнее Юпитера давление в центре создаётся уже не атомными силами, а вырожденным электронным газом, и радиус перестаёт расти с массой, а затем начинает убывать У. Юпитер близок к самому большому по размеру холодному телу из водорода и гелия; коричневые карлики в десятки раз массивнее, но имеют примерно тот же радиус. Для тел из тяжёлых элементов оценка сложнее: энергия связи и межатомное расстояние зависят от состава, и простая подстановка \(A m_p\) вместо \(m_p\) не годится.
Звезда — шар, в котором гравитация уравновешена давлением, а энергия поступает от термоядерных реакций. Её характерную массу дал Ландау (1932) одним рассуждением. Пусть \(N\) протонов (и столько же электронов) сжаты в шар радиуса \(R\). Если давление создают вырожденные релятивистские электроны, их энергия на частицу \(\sim \hbar c\, n^{1/3} \sim \hbar c N^{1/3}/R\), а гравитационная энергия на протон \(\sim G N m_p^2/R\). Обе энергии обратно пропорциональны \(R\), поэтому сжатие их баланс не меняет: при \[ N > N_* \sim \left(\frac{\hbar c}{G m_p^2}\right)^{3/2} = \alpha_G^{-3/2} \] гравитация побеждает при любом радиусе, и равновесие холодного тела невозможно. Масштаб \(\alpha_G^{-3/2}m_p\) — это и масштаб масс звёзд.
N_star = alpha_G ** -1.5
print(f"N* = α_G^(-3/2) = {N_star:.2e}, N* m_p = {N_star * m_p / msun:.2f} M☉")
print(f"в Солнце протонов (по массе): {msun / m_p:.2e}")N* = α_G^(-3/2) = 2.20e+57, N* m_p = 1.85 M☉
в Солнце протонов (по массе): 1.19e+57Точный ответ — предел Чандрасекара — получается из уравнения Лейна–Эмдена с индексом политропы \(n = 3\) (подробно — в теме «Вырожденное вещество и предел Чандрасекара»): \[ M_{\rm Ch} = \frac{\sqrt{3\pi}}{2}\,\omega_3\, \left(\frac{\hbar c}{G}\right)^{3/2}\frac{1}{(\mu_e m_u)^2}, \qquad \omega_3 = -\xi_1^2\,\theta'(\xi_1), \] где \(\theta(\xi)\) — решение уравнения Лейна–Эмдена \(\xi^{-2}(\xi^2\theta')' = -\theta^3\), \(\xi_1\) — его первый нуль, \(\mu_e\) — число нуклонов на электрон (\(\mu_e = 2\) для гелия, углерода и кислорода), \(m_u\) — атомная единица массы. Найдём \(\omega_3\) численно:
from scipy.integrate import solve_ivp
def lane_emden(n, xi_max=20.0):
"""Первый нуль ξ₁ и ω_n = −ξ₁²θ'(ξ₁) для политропы индекса n."""
rhs = lambda xi, y: [y[1], -np.abs(y[0]) ** n - 2 * y[1] / xi]
xi0 = 1e-6 # разложение θ ≈ 1 − ξ²/6
surface = lambda xi, y: y[0]
surface.terminal = True
sol = solve_ivp(rhs, [xi0, xi_max], [1 - xi0**2 / 6, -xi0 / 3],
events=surface, rtol=1e-12, atol=1e-14)
xi1, (_, dtheta) = sol.t_events[0][0], sol.y_events[0][0]
return xi1, -xi1**2 * dtheta
xi1, omega3 = lane_emden(3)
m_u = (1 * u.u).to(u.g).value
M_Ch = math.sqrt(3 * math.pi) / 2 * omega3 * (hbar * c / G) ** 1.5 / (2 * m_u) ** 2
print(f"ξ₁ = {xi1:.5f}, ω₃ = {omega3:.5f}")
print(f"M_Ch(μ_e = 2) = {M_Ch / msun:.3f} M☉")ξ₁ = 6.89685, ω₃ = 2.01824
M_Ch(μ_e = 2) = 1.456 M☉Грубая оценка \(\alpha_G^{-3/2} m_p = 1{,}85\,\Msun\) отличается от точного \(M_{\rm Ch} = 1{,}46\,\Msun\) всего на 30 %: множители \(\sqrt{3\pi}\,\omega_3/2 \approx 3{,}1\) и \(\mu_e^{-2} = 1/4\) почти компенсируют друг друга. Поправки, не учтённые в модели идеального вырожденного газа (кулоновское взаимодействие, нейтронизация, ОТО), немного уменьшают предел У.
Почему этот же масштаб задаёт массы обычных звёзд, а не только белых карликов? У слишком лёгкого газового шара электроны становятся вырожденными раньше, чем температура в центре достигает порога горения водорода, — так получаются коричневые карлики; минимальная масса звезды около \(0{,}075\,\Msun\) (Шабрие, Барафф, 2000). У слишком тяжёлого шара давление излучения сравнивается с давлением газа, и звезда становится неустойчивой; верхний предел — порядка \(10^2\,\Msun\). Оба предела — степени \(\alpha_G^{-3/2}m_p\) с множителями, зависящими от \(\alpha\) и \(\beta\) У; расчёт — в разделе «Физика звёзд».
Соберём результаты вместе и сравним оценки с точными или измеренными значениями. Добавим и пример неудачной оценки: температуру, при которой сталкивающиеся протоны преодолевают кулоновский барьер \(e^2/r_N\) (\(r_N \approx 1{,}4\) фм — радиус действия ядерных сил), сравним с температурой в центре Солнца \(1{,}5\cdot10^7\) К, где водород действительно горит.
r_N = 1.41e-13 # ħ/(m_π c), см
T_barrier = e**2 / r_N / const.k_B.cgs.value # кТ ~ высота барьера
print(f"T(барьер) ≈ {T_barrier:.1e} К; отношение к 1,5·10⁷ К: {T_barrier / 1.5e7:.0f}")T(барьер) ≈ 1.2e+10 К; отношение к 1,5·10⁷ К: 790import matplotlib.pyplot as plt
cases = { # оценка, точное значение
"радиус атома H, $a_0$": (a0, 5.29e-9),
"энергия связи H": (Ry.value, 13.6),
"плотность воды": (rho_water, 1.0),
"радиус Юпитера": (R_max_H, R_J),
"масса Юпитера": (M_max_H, M_J),
"предел Чандрасекара": (N_star * m_p, M_Ch),
"энергия «Тринити»": (E.value, 20 * kt.value),
"T горения водорода": (T_barrier, 1.5e7),
}
ratio = {k: est / true for k, (est, true) in cases.items()}
fig, ax = plt.subplots(figsize=(7, 3.6))
ax.axvspan(1 / 3, 3, color="0.9")
ax.axvline(1, color="0.5", lw=0.8)
ax.scatter(list(ratio.values()), list(ratio), color="tab:red", zorder=3)
ax.set_xscale("log")
ax.set(xlim=(0.1, 3e3), xlabel="оценка / точное значение")
ax.invert_yaxis()
ax.grid(alpha=0.2, axis="x")
fig.tight_layout()
Когда в задаче конкурируют степенные зависимости, оценки «по порядку величины» обычно точнее порядка: опущенные множители — числа вроде \(4\pi/3\), \(\sqrt2\) и \(\omega_3\), которые отчасти компенсируют друг друга. Иначе обстоит дело, когда ответ определяет экспонента. Скорость термоядерной реакции содержит гамовский фактор \(\exp[-(E_G/kT)^{1/3}]\); реакция идёт за счёт туннелирования частиц из далёкого хвоста распределения Максвелла, и температура горения водорода почти в тысячу раз ниже «наивной» оценки по высоте барьера (тема «Скорости термоядерных реакций») У. Правило: если в задаче есть экспонента, оценивать надо её показатель, а не сам ответ.