Уравнения Фридмана

Уравнения Эйнштейна для метрики ФЛРУ; уравнение непрерывности и уравнение состояния; доли Ω_i; модель ΛCDM, эпохи равенства и начало ускорения; возраст Вселенной и численное решение для a(t)

Уровень и связи

Уровень: 1 — основы; статус: [У] установлено

Нужно знать: Метрика Фридмана–Леметра–Робертсона–Уокера

Куда дальше: Расстояния и горизонты, Термодинамика расширяющейся Вселенной, Линейная теория возмущений (в работе), Динамика скалярного поля во Вселенной (в работе), Горячая Вселенная — наблюдательные основания (в работе)

Метрика ФЛРУ (тема «Метрика Фридмана–Леметра–Робертсона–Уокера») оставляет неизвестной одну функцию — масштабный фактор $a(t)$. Её определяют уравнения Эйнштейна: в однородной Вселенной они сводятся к двум обыкновенным дифференциальным уравнениям, связывающим темп расширения с плотностью энергии и давлением. Из них следуют история расширения, возраст Вселенной и смена эпох — излучения, вещества и тёмной энергии, — на фоне которых происходит вся космическая эволюция.

Уравнения Эйнштейна для однородной Вселенной

По симметрии тензор энергии-импульса однородной изотропной среды имеет вид идеальной жидкости. В сопутствующей системе (соглашения — на странице Конвенции) \[ T^\mu{}_\nu = \mathrm{diag}(\rho, -p, -p, -p), \] где $\rho(t)$ — плотность энергии, $p(t)$ — давление. Космологическую постоянную включаем в $\rho$ и $p$ как вакуумную компоненту с $p_\Lambda = -\rho_\Lambda$. Вычислим тензор Эйнштейна $G^\mu{}_\nu$ метрики ФЛРУ модулем cosmevo.gr и приравняем $8\pi G\,T^\mu{}_\nu$:

import math

import astropy.constants as const
import astropy.units as u
import numpy as np
import sympy as sp
from astropy.cosmology import Planck18

from cosmevo.gr import einstein, frw_metric

g, x, a = frw_metric()
t = x[0]
k = sp.Symbol("kappa", real=True)
rho, p = sp.Function("rho")(t), sp.Function("p")(t)
Gn = sp.Symbol("G", positive=True)

G_mixed = sp.simplify(g.inv() * einstein(g, x))       # G^μ_ν
eq_tt = sp.Eq(G_mixed[0, 0], 8 * sp.pi * Gn * rho)
eq_rr = sp.Eq(G_mixed[1, 1], -8 * sp.pi * Gn * p)
print("G^t_t =", sp.simplify(G_mixed[0, 0]))
print("G^r_r =", sp.simplify(G_mixed[1, 1]))
print("G^θ_θ = G^r_r:", sp.simplify(G_mixed[2, 2] - G_mixed[1, 1]) == 0)

G^t_t = 3*(kappa + Derivative(a(t), t)**2)/a(t)**2
G^r_r = (kappa + 2*a(t)*Derivative(a(t), (t, 2)) + Derivative(a(t), t)**2)/a(t)**2
G^θ_θ = G^r_r: True

Недиагональные компоненты равны нулю, три пространственные совпадают — симметрия оставляет два независимых уравнения. Это уравнения Фридмана: \[ H^2 \equiv \left(\frac{\dot a}{a}\right)^2 = \frac{8\pi G}{3}\rho - \frac{\kappa}{a^2}, \qquad \frac{\ddot a}{a} = -\frac{4\pi G}{3}(\rho + 3p). \] Второе получается вычитанием первого из пространственного уравнения $2\ddot a/a + H^2 + \kappa/a^2 = -8\pi Gp$. Проверим, что SymPy приводит к тем же формулам:

adot, addot = sp.diff(a, t), sp.diff(a, t, 2)
H2 = sp.solve(eq_tt, adot**2)[0] / a**2
acc = sp.solve(eq_rr.subs(adot**2, H2 * a**2), addot)[0] / a
print("H² =", sp.simplify(H2))
print("ä/a =", sp.factor(sp.simplify(acc)))

H² = 8*pi*G*rho(t)/3 - kappa/a(t)**2
ä/a = -4*pi*G*(3*p(t) + rho(t))/3

Уравнение непрерывности. Продифференцируем первое уравнение по времени и подставим второе:

# d/dt [a² H² − (8πG/3) ρ a² + κ] = 0 при выполненном втором уравнении
first = adot**2 - sp.Rational(8, 3) * sp.pi * Gn * rho * a**2 + k
d_first = sp.diff(first, t).subs(addot, a * (-sp.Rational(4, 3) * sp.pi * Gn * (rho + 3 * p)))
rho_dot = sp.solve(d_first, sp.diff(rho, t))[0]
print("ρ̇ =", sp.factor(sp.simplify(rho_dot)))

ρ̇ = -3*(p(t) + rho(t))*Derivative(a(t), t)/a(t)

\[ \dot\rho + 3H(\rho + p) = 0 . \] Это первое начало термодинамики $\dd(\rho a^3) = -p\,\dd(a^3)$ для сопутствующего объёма; в ОТО оно — следствие тождества Бьянки $\nabla_\mu G^\mu{}_\nu = 0$ и поэтому не независимо от уравнений Фридмана У.

Ньютоновское прочтение первого уравнения (Милн, Маккри, 1934): пробная частица на границе однородного шара радиуса $R = a\chi$ имеет энергию $\frac12\dot R^2 - \frac{GM}{R} = \text{const}$, что совпадает с первым уравнением при $\kappa \propto -\text{const}$. Второе уравнение ньютоновского аналога не имеет: в ОТО гравитирует не только плотность энергии, но и давление, и при $p < -\rho/3$ расширение ускоряется.

Уравнение состояния и доли компонент

Определение 1 Уравнение состояния компоненты — отношение $w = p/\rho$. Для нерелятивистского вещества $w = 0$, для излучения $w = 1/3$, для космологической постоянной $w = -1$.

Если компоненты не обмениваются энергией, уравнение непрерывности выполняется для каждой в отдельности, и при постоянном $w$ \[ \rho \propto a^{-3(1+w)}: \qquad \rho_m \propto a^{-3},\quad \rho_r \propto a^{-4},\quad \rho_\Lambda = \text{const}. \] Излучение убывает быстрее вещества на один множитель $a$: число фотонов в сопутствующем объёме сохраняется, а энергия каждого падает как $1/a$ (тема «Метрика ФЛРУ»).

Определение 2 Доли компонент: $\Omega_i = \rho_{i,0}/\rho_c$, где $\rho_c = 3H_0^2/(8\pi G)$ — критическая плотность; $\Omega_\kappa = -\kappa/H_0^2$. Первое уравнение Фридмана сегодня даёт $\sum_i \Omega_i + \Omega_\kappa = 1$, а в любой момент \[ H^2(a) = H_0^2\left[\Omega_r a^{-4} + \Omega_m a^{-3} + \Omega_\kappa a^{-2} + \Omega_\Lambda\right]. \]

Решения для одной компоненты при $\kappa = 0$:

H0s, w_ = sp.symbols("H_0 w", positive=True)
af = sp.Function("a")
for name, w in [("вещество", sp.Integer(0)), ("излучение", sp.Rational(1, 3))]:
    # ȧ = H₀ a^{−(1+3w)/2}: решение a = (t/t₀)^{2/(3(1+w))}
    n = sp.Rational(2, 3) / (1 + w)
    t0 = n / H0s
    a_sol = (t / t0) ** n
    resid = sp.simplify(sp.diff(a_sol, t) - H0s * a_sol ** (-(1 + 3 * w) * sp.Rational(1, 2)))
    print(f"{name}: a ∝ t^{n},  t₀ = {t0},  невязка {resid}")
a_L = sp.exp(H0s * t)
print("Λ: a = e^{H₀t}, невязка", sp.simplify(sp.diff(a_L, t) - H0s * a_L))

вещество: a ∝ t^2/3,  t₀ = 2/(3*H_0),  невязка 0
излучение: a ∝ t^1/2,  t₀ = 1/(2*H_0),  невязка 0
Λ: a = e^{H₀t}, невязка 0

Модель ΛCDM

Опорная космология пособия — Planck 2018 в реализации astropy.cosmology.Planck18. Для собственных расчётов возьмём трёхкомпонентную модель: излучение (фотоны и три сорта безмассовых нейтрино, $\Omega_r = \Omega_\gamma[1 + \frac78(\frac4{11})^{4/3}N_{\rm eff}]$), вещество и космологическая постоянная, $\Omega_\kappa = 0$. Масса нейтрино 0,06 эВ, учтённая в Planck18, в простой модели отнесена к веществу.

Om_g, N_eff = Planck18.Ogamma0, Planck18.Neff
Om_r = Om_g * (1 + 7 / 8 * (4 / 11) ** (4 / 3) * N_eff)
Om_L = Planck18.Ode0
Om_m = 1 - Om_r - Om_L
H0 = Planck18.H0

def E(a):
    """H(a)/H₀ для плоской модели излучение + вещество + Λ."""
    return np.sqrt(Om_r / a**4 + Om_m / a**3 + Om_L)

print(f"Ω_r = {Om_r:.3e},  Ω_m = {Om_m:.4f},  Ω_Λ = {Om_L:.4f}")
z_eq = Om_m / Om_r - 1                           # ρ_m = ρ_r
z_mL = (Om_L / Om_m) ** (1 / 3) - 1              # ρ_m = ρ_Λ
z_acc = (2 * Om_L / Om_m) ** (1 / 3) - 1         # ä = 0: ρ_m = 2ρ_Λ
print(f"равенство излучения и вещества: z = {z_eq:.0f}")
print(f"равенство вещества и Λ:         z = {z_mL:.3f}")
print(f"начало ускорения (ä = 0):       z = {z_acc:.3f}")

Ω_r = 9.139e-05,  Ω_m = 0.3111,  Ω_Λ = 0.6888
равенство излучения и вещества: z = 3403
равенство вещества и Λ:         z = 0.303
начало ускорения (ä = 0):       z = 0.642

Ускорение началось раньше, чем тёмная энергия стала преобладать: условие $\ddot a = 0$ — это $\rho_m + \rho_r = 2\rho_\Lambda$ (из $\rho + 3p = 0$), а не $\rho_m = \rho_\Lambda$.

Возраст Вселенной. Из $\dd t = \dd a/(aH)$ \[ t(a) = \frac{1}{H_0}\int_0^a \frac{\dd a'}{a' E(a')} . \]

from scipy.integrate import quad, solve_ivp

t_H = (1 / H0).to(u.Gyr).value                   # хаббловское время 1/H₀

def age(a_end=1.0):
    return t_H * quad(lambda a: 1 / (a * E(a)), 0, a_end, epsabs=0, epsrel=1e-10)[0]

t0 = age()
print(f"1/H₀ = {t_H:.3f} млрд лет")
print(f"возраст (наша модель): {t0:.3f} млрд лет")
print(f"возраст (Planck18):    {Planck18.age(0).to(u.Gyr).value:.3f} млрд лет")
print(f"возраст при z_acc:     {age(1 / (1 + z_acc)):.2f} млрд лет")
print(f"при z_eq:              {age(1 / (1 + z_eq)) * 1e9:.0f} лет")

1/H₀ = 14.452 млрд лет
возраст (наша модель): 13.786 млрд лет
возраст (Planck18):    13.787 млрд лет
возраст при z_acc:     7.64 млрд лет
при z_eq:              50958 лет

Простая модель отличается от Planck18 на сотые доли процента — разница от массивных нейтрино. Для плоской модели вещества с $\Lambda$ (без излучения) интеграл берётся точно: \[ t_0 = \frac{2}{3H_0\sqrt{\Omega_\Lambda}}\, \operatorname{arsinh}\sqrt{\frac{\Omega_\Lambda}{\Omega_m}} . \]

aa, OL, Om = sp.symbols("a Omega_Lambda Omega_m", positive=True)
t_exact = 2 / (3 * sp.sqrt(OL)) * sp.asinh(sp.sqrt(OL / Om) * aa ** sp.Rational(3, 2))
integrand = 1 / (aa * sp.sqrt(Om / aa**3 + OL))
print("d t/da − 1/(aE) =", sp.simplify(sp.diff(t_exact, aa) - integrand))
t0_exact = t_H * float(t_exact.subs({aa: 1, OL: Om_L, Om: Om_m + Om_r}))
print(f"t₀ (вещество + Λ, точно) = {t0_exact:.3f} млрд лет")

d t/da − 1/(aE) = 0
t₀ (вещество + Λ, точно) = 13.791 млрд лет

История масштабного фактора. Решим уравнение $\dot a = H_0\,aE(a)$ численно, начав с малого $a$ в эпоху излучения, где $a \approx (2\sqrt{\Omega_r}H_0t)^{1/2}$:

import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.optimize import brentq

a_init = 1e-8
t_init = a_init**2 / (2 * math.sqrt(Om_r)) * t_H
sol = solve_ivp(lambda tt, y: [y[0] * E(y[0]) / t_H], [t_init, 60],
                [a_init], method="LSODA", rtol=1e-10, atol=1e-20, dense_output=True)
tt = np.logspace(math.log10(t_init), math.log10(60), 600)
aa_t = sol.sol(tt)[0]
t_today = brentq(lambda tq: sol.sol(tq)[0] - 1, 1, 30)
rho_parts = np.array([Om_r / aa_t**4, Om_m / aa_t**3, Om_L * np.ones_like(aa_t)])
frac = rho_parts / rho_parts.sum(axis=0)

fig, (ax1, ax2) = plt.subplots(2, 1, figsize=(7, 6), sharex=True,
                               gridspec_kw={"height_ratios": [3, 2]})
ax1.loglog(tt, aa_t, "k", lw=1.5, label="ΛCDM")
ax1.loglog(tt, (2 * math.sqrt(Om_r) * tt / t_H) ** 0.5, ":", color="tab:orange",
           label=r"излучение: $a \propto t^{1/2}$")
ax1.loglog(tt, (1.5 * math.sqrt(Om_m) * tt / t_H) ** (2 / 3), "--", color="tab:blue",
           label=r"вещество: $a \propto t^{2/3}$")
ax1.set(ylim=(1e-5, 30), ylabel="a(t)")
ax1.legend(loc="upper left", fontsize=9)
for f, name, col in zip(frac, ["излучение", "вещество", "Λ"],
                        ["tab:orange", "tab:blue", "tab:green"]):
    ax2.semilogx(tt, f, color=col, label=name)
for zz, label in [(z_eq, "равенство\nизл. и вещ."), (z_acc, "начало\nускорения"),
                  (0, "сегодня")]:
    tz = age(1 / (1 + zz))
    for ax in (ax1, ax2):
        ax.axvline(tz, color="0.6", lw=0.7)
    right = label == "сегодня"
    ax1.text(tz * (1.15 if right else 0.8), 2e-5, label, fontsize=8, color="0.35",
             ha="left" if right else "right", va="bottom")
ax2.set(xlabel="t, млрд лет", ylabel=r"$\Omega_i(t)$", xlim=(1e-6, 60), ylim=(0, 1.05))
ax2.legend(loc="center", fontsize=9)
for ax in (ax1, ax2):
    ax.grid(alpha=0.2)
fig.tight_layout()
print(f"a = 1 при t = {t_today:.3f} млрд лет (численное решение ОДУ)")

a = 1 при t = 13.786 млрд лет (численное решение ОДУ)

Рисунок 1: Сверху: масштабный фактор a(t) модели ΛCDM (Planck 2018) и асимптотики. Снизу: доли компонент Ω_i(t) = ρ_i/ρ_полн; вертикальные линии — равенство излучения и вещества, начало ускорения и сегодняшний день. Шкала времени логарифмическая.

Физика и наблюдательный статус

Уравнения Фридмана — следствие ОТО и симметрии У. Их проверки — согласие расстояний по сверхновым, барионных акустических осцилляций и реликтового излучения в рамках одной модели $H(a)$.
Плоская модель ΛCDM с шестью параметрами описывает реликтовое излучение, крупномасштабную структуру и содержание лёгких элементов У. Сегодня $\Omega_\kappa$ совместима с нулём с точностью около $2\cdot10^{-3}$ (Planck 2018 с БАО).
Природа тёмной энергии неизвестна. Что это космологическая постоянная ($w = -1$ точно) — гипотеза Г. По данным DESI (выпуск DR2, 2025 г.) в сочетании с реликтовым излучением и сверхновыми эволюционирующая тёмная энергия предпочтительнее $\Lambda$ на уровне 2,8–4,2σ в зависимости от выборки сверхновых; по данным на 2025 г. это не считается открытием (тема «Меняется ли тёмная энергия?»).
Измерения $H_0$ по цефеидам и сверхновым дают $73{,}0 \pm 1{,}0$ км·с⁻¹·Мпк⁻¹ (Рисс и соавторы, 2022), против $67{,}4 \pm 0{,}5$ из реликтового излучения в ΛCDM: расхождение около 5σ У; его причина — систематика или новая физика — не установлена Г (тема «Горячая Вселенная — наблюдательные основания»).

Итоги

Уравнения Эйнштейна для метрики ФЛРУ и идеальной жидкости: $H^2 = \frac{8\pi G}{3}\rho - \frac{\kappa}{a^2}$, $\frac{\ddot a}{a} = -\frac{4\pi G}{3}(\rho + 3p)$; уравнение непрерывности $\dot\rho + 3H(\rho + p) = 0$ из них следует.
При $w = \text{const}$: $\rho \propto a^{-3(1+w)}$; вещество — $a \propto t^{2/3}$, излучение — $t^{1/2}$, $\Lambda$ — $e^{Ht}$.
ΛCDM (Planck18): равенство излучения и вещества при $z \approx 3400$ (через 51 тыс. лет), ускорение с $z \approx 0{,}64$ (7,6 млрд лет), равенство вещества и Λ при $z \approx 0{,}30$; возраст 13,79 млрд лет.
Давление гравитирует: при $p < -\rho/3$ расширение ускоряется.

Упражнения

Найдите возраст плоской Вселенной с одной компонентой $w = \text{const}$ через $H_0$. Каким он был бы для пыли при $H_0 = 67{,}66$ км·с⁻¹·Мпк⁻¹? А при $H_0 = 73{,}0$?
Найдите $z_{\rm eq}$ и возраст в момент равенства излучения и вещества, если бы нейтрино не было ($N_{\rm eff} = 0$). Как изменится $z_{\rm eq}$?
Покажите, что $\ddot a = 0$ при $\Omega_m(1+z)^3 = 2\Omega_\Lambda$ (без излучения), и найдите возраст Вселенной в момент начала ускорения в долях нынешнего.
Статическая вселенная Эйнштейна: пыль и $\Lambda$, $\dot a = \ddot a = 0$. Найдите связь $\rho_m$, $\Lambda$ и $\kappa/a^2$. Почему решение неустойчиво?
Решите численно уравнение для $a(t)$ в будущем ($t > t_0$). Через сколько лет масштабный фактор удвоится? Чему равно асимптотическое хаббловское время $1/(H_0\sqrt{\Omega_\Lambda})$?

Ответы

$t_0 = \dfrac{2}{3(1+w)H_0}$; для пыли $t_0 = 2/(3H_0) = 9{,}63$ млрд лет, при $H_0 = 73{,}0$ — 8,93 млрд лет. Это меньше возраста старейших звёзд ($\approx 12$–13 млрд лет), поэтому модель Эйнштейна–де Ситтера отвергнута ещё до открытия ускорения.
Без нейтрино $\Omega_r = \Omega_\gamma$: $z_{\rm eq} = 5760$ вместо 3400; равенство наступило бы через 23 тыс. лет вместо 51 тыс. Число релятивистских степеней свободы прямо сдвигает $z_{\rm eq}$ — поэтому реликтовое излучение чувствительно к $N_{\rm eff}$.
$\ddot a \propto -(\rho_m - 2\rho_\Lambda)$ при $p_m = 0$, $p_\Lambda = -\rho_\Lambda$. Возраст при $z_{\rm acc} = 0{,}64$ — 7,6 млрд лет, 0,55 нынешнего.
$\Lambda = 4\pi G\rho_m$, $\kappa/a^2 = \Lambda > 0$ (замкнутая). При малом сжатии $\rho_m$ растёт, притяжение побеждает, и сжатие ускоряется; при расширении — наоборот. Равновесие неустойчиво.
Масштабный фактор удвоится через 11,1 млрд лет после сегодняшнего дня; асимптотическое хаббловское время — 17,4 млрд лет (время $e$-кратного расширения), удвоение асимптотически происходит за $\ln 2/(H_0\sqrt{\Omega_\Lambda}) = 12{,}1$ млрд лет. Сегодня удвоение быстрее асимптотического: вклад вещества ещё увеличивает $H$.

Литература

Friedman A. Über die Krümmung des Raumes. Z. Phys. 10, 377 (1922).
Lemaître G. Un Univers homogène de masse constante et de rayon croissant rendant compte de la vitesse radiale des nébuleuses extra-galactiques. Ann. Soc. Sci. Bruxelles A 47, 49 (1927).
Горбунов Д. С., Рубаков В. А. Введение в теорию ранней Вселенной: Теория горячего Большого взрыва. — М.: ЛКИ, 2008. Гл. 3–4.
Planck Collaboration. Planck 2018 results. VI. Cosmological parameters. Astron. Astrophys. 641, A6 (2020), arXiv:1807.06209.
Milne E. A. A Newtonian expanding universe. Q. J. Math. 5, 64 (1934); McCrea W. H., Milne E. A. Newtonian universes and the curvature of space. Q. J. Math. 5, 73 (1934).
Riess A. G. et al. A comprehensive measurement of the local value of the Hubble constant with 1 km/s/Mpc uncertainty from the Hubble Space Telescope and the SH0ES team. Astrophys. J. Lett. 934, L7 (2022), arXiv:2112.04510.
DESI Collaboration. DESI DR2 results II: measurements of baryon acoustic oscillations and cosmological constraints. Phys. Rev. D 112, 083515 (2025), arXiv:2503.14738.

--- title: "Уравнения Фридмана" topic: friedmann-equations order: 2 description: "Уравнения Эйнштейна для метрики ФЛРУ; уравнение непрерывности и уравнение состояния; доли Ω_i; модель ΛCDM, эпохи равенства и начало ускорения; возраст Вселенной и численное решение для a(t)" --- Метрика ФЛРУ (тема «Метрика Фридмана–Леметра–Робертсона–Уокера») оставляет неизвестной одну функцию — масштабный фактор $a(t)$. Её определяют уравнения Эйнштейна: в однородной Вселенной они сводятся к двум обыкновенным дифференциальным уравнениям, связывающим темп расширения с плотностью энергии и давлением. Из них следуют история расширения, возраст Вселенной и смена эпох — излучения, вещества и тёмной энергии, — на фоне которых происходит вся космическая эволюция. ## Уравнения Эйнштейна для однородной Вселенной По симметрии тензор энергии-импульса однородной изотропной среды имеет вид идеальной жидкости. В сопутствующей системе (соглашения — на странице [Конвенции](/conventions.qmd)) $$ T^\mu{}_\nu = \mathrm{diag}(\rho, -p, -p, -p), $$ где $\rho(t)$ — плотность энергии, $p(t)$ — давление. Космологическую постоянную включаем в $\rho$ и $p$ как вакуумную компоненту с $p_\Lambda = -\rho_\Lambda$. Вычислим тензор Эйнштейна $G^\mu{}_\nu$ метрики ФЛРУ модулем `cosmevo.gr` и приравняем $8\pi G\,T^\mu{}_\nu$: ```{python} import math import astropy.constants as const import astropy.units as u import numpy as np import sympy as sp from astropy.cosmology import Planck18 from cosmevo.gr import einstein, frw_metric g, x, a = frw_metric() t = x[0] k = sp.Symbol("kappa", real=True) rho, p = sp.Function("rho")(t), sp.Function("p")(t) Gn = sp.Symbol("G", positive=True) G_mixed = sp.simplify(g.inv() * einstein(g, x)) # G^μ_ν eq_tt = sp.Eq(G_mixed[0, 0], 8 * sp.pi * Gn * rho) eq_rr = sp.Eq(G_mixed[1, 1], -8 * sp.pi * Gn * p) print("G^t_t =", sp.simplify(G_mixed[0, 0])) print("G^r_r =", sp.simplify(G_mixed[1, 1])) print("G^θ_θ = G^r_r:", sp.simplify(G_mixed[2, 2] - G_mixed[1, 1]) == 0) ``` Недиагональные компоненты равны нулю, три пространственные совпадают — симметрия оставляет два независимых уравнения. Это **уравнения Фридмана**: $$ H^2 \equiv \left(\frac{\dot a}{a}\right)^2 = \frac{8\pi G}{3}\rho - \frac{\kappa}{a^2}, \qquad \frac{\ddot a}{a} = -\frac{4\pi G}{3}(\rho + 3p). $$ Второе получается вычитанием первого из пространственного уравнения $2\ddot a/a + H^2 + \kappa/a^2 = -8\pi Gp$. Проверим, что SymPy приводит к тем же формулам: ```{python} adot, addot = sp.diff(a, t), sp.diff(a, t, 2) H2 = sp.solve(eq_tt, adot**2)[0] / a**2 acc = sp.solve(eq_rr.subs(adot**2, H2 * a**2), addot)[0] / a print("H² =", sp.simplify(H2)) print("ä/a =", sp.factor(sp.simplify(acc))) ``` **Уравнение непрерывности.** Продифференцируем первое уравнение по времени и подставим второе: ```{python} # d/dt [a² H² − (8πG/3) ρ a² + κ] = 0 при выполненном втором уравнении first = adot**2 - sp.Rational(8, 3) * sp.pi * Gn * rho * a**2 + k d_first = sp.diff(first, t).subs(addot, a * (-sp.Rational(4, 3) * sp.pi * Gn * (rho + 3 * p))) rho_dot = sp.solve(d_first, sp.diff(rho, t))[0] print("ρ̇ =", sp.factor(sp.simplify(rho_dot))) ``` $$ \dot\rho + 3H(\rho + p) = 0 . $$ Это первое начало термодинамики $\dd(\rho a^3) = -p\,\dd(a^3)$ для сопутствующего объёма; в ОТО оно — следствие тождества Бьянки $\nabla_\mu G^\mu{}_\nu = 0$ и поэтому не независимо от уравнений Фридмана [У]{.status}. Ньютоновское прочтение первого уравнения (Милн, Маккри, 1934): пробная частица на границе однородного шара радиуса $R = a\chi$ имеет энергию $\frac12\dot R^2 - \frac{GM}{R} = \text{const}$, что совпадает с первым уравнением при $\kappa \propto -\text{const}$. Второе уравнение ньютоновского аналога не имеет: в ОТО гравитирует не только плотность энергии, но и давление, и при $p < -\rho/3$ расширение ускоряется. ## Уравнение состояния и доли компонент ::: {#def-eos} **Уравнение состояния** компоненты — отношение $w = p/\rho$. Для нерелятивистского вещества $w = 0$, для излучения $w = 1/3$, для космологической постоянной $w = -1$. ::: Если компоненты не обмениваются энергией, уравнение непрерывности выполняется для каждой в отдельности, и при постоянном $w$ $$ \rho \propto a^{-3(1+w)}: \qquad \rho_m \propto a^{-3},\quad \rho_r \propto a^{-4},\quad \rho_\Lambda = \text{const}. $$ Излучение убывает быстрее вещества на один множитель $a$: число фотонов в сопутствующем объёме сохраняется, а энергия каждого падает как $1/a$ (тема «Метрика ФЛРУ»). ::: {#def-omega} **Доли компонент**: $\Omega_i = \rho_{i,0}/\rho_c$, где $\rho_c = 3H_0^2/(8\pi G)$ — критическая плотность; $\Omega_\kappa = -\kappa/H_0^2$. Первое уравнение Фридмана сегодня даёт $\sum_i \Omega_i + \Omega_\kappa = 1$, а в любой момент $$ H^2(a) = H_0^2\left[\Omega_r a^{-4} + \Omega_m a^{-3} + \Omega_\kappa a^{-2} + \Omega_\Lambda\right]. $$ ::: Решения для одной компоненты при $\kappa = 0$: ```{python} H0s, w_ = sp.symbols("H_0 w", positive=True) af = sp.Function("a") for name, w in [("вещество", sp.Integer(0)), ("излучение", sp.Rational(1, 3))]: # ȧ = H₀ a^{−(1+3w)/2}: решение a = (t/t₀)^{2/(3(1+w))} n = sp.Rational(2, 3) / (1 + w) t0 = n / H0s a_sol = (t / t0) ** n resid = sp.simplify(sp.diff(a_sol, t) - H0s * a_sol ** (-(1 + 3 * w) * sp.Rational(1, 2))) print(f"{name}: a ∝ t^{n}, t₀ = {t0}, невязка {resid}") a_L = sp.exp(H0s * t) print("Λ: a = e^{H₀t}, невязка", sp.simplify(sp.diff(a_L, t) - H0s * a_L)) ``` ## Модель ΛCDM Опорная космология пособия — Planck 2018 в реализации `astropy.cosmology.Planck18`. Для собственных расчётов возьмём трёхкомпонентную модель: излучение (фотоны и три сорта безмассовых нейтрино, $\Omega_r = \Omega_\gamma[1 + \frac78(\frac4{11})^{4/3}N_{\rm eff}]$), вещество и космологическая постоянная, $\Omega_\kappa = 0$. Масса нейтрино 0,06 эВ, учтённая в `Planck18`, в простой модели отнесена к веществу. ```{python} Om_g, N_eff = Planck18.Ogamma0, Planck18.Neff Om_r = Om_g * (1 + 7 / 8 * (4 / 11) ** (4 / 3) * N_eff) Om_L = Planck18.Ode0 Om_m = 1 - Om_r - Om_L H0 = Planck18.H0 def E(a): """H(a)/H₀ для плоской модели излучение + вещество + Λ.""" return np.sqrt(Om_r / a**4 + Om_m / a**3 + Om_L) print(f"Ω_r = {Om_r:.3e}, Ω_m = {Om_m:.4f}, Ω_Λ = {Om_L:.4f}") z_eq = Om_m / Om_r - 1 # ρ_m = ρ_r z_mL = (Om_L / Om_m) ** (1 / 3) - 1 # ρ_m = ρ_Λ z_acc = (2 * Om_L / Om_m) ** (1 / 3) - 1 # ä = 0: ρ_m = 2ρ_Λ print(f"равенство излучения и вещества: z = {z_eq:.0f}") print(f"равенство вещества и Λ: z = {z_mL:.3f}") print(f"начало ускорения (ä = 0): z = {z_acc:.3f}") ``` Ускорение началось раньше, чем тёмная энергия стала преобладать: условие $\ddot a = 0$ — это $\rho_m + \rho_r = 2\rho_\Lambda$ (из $\rho + 3p = 0$), а не $\rho_m = \rho_\Lambda$. **Возраст Вселенной.** Из $\dd t = \dd a/(aH)$ $$ t(a) = \frac{1}{H_0}\int_0^a \frac{\dd a'}{a' E(a')} . $$ ```{python} from scipy.integrate import quad, solve_ivp t_H = (1 / H0).to(u.Gyr).value # хаббловское время 1/H₀ def age(a_end=1.0): return t_H * quad(lambda a: 1 / (a * E(a)), 0, a_end, epsabs=0, epsrel=1e-10)[0] t0 = age() print(f"1/H₀ = {t_H:.3f} млрд лет") print(f"возраст (наша модель): {t0:.3f} млрд лет") print(f"возраст (Planck18): {Planck18.age(0).to(u.Gyr).value:.3f} млрд лет") print(f"возраст при z_acc: {age(1 / (1 + z_acc)):.2f} млрд лет") print(f"при z_eq: {age(1 / (1 + z_eq)) * 1e9:.0f} лет") ``` Простая модель отличается от `Planck18` на сотые доли процента — разница от массивных нейтрино. Для плоской модели вещества с $\Lambda$ (без излучения) интеграл берётся точно: $$ t_0 = \frac{2}{3H_0\sqrt{\Omega_\Lambda}}\, \operatorname{arsinh}\sqrt{\frac{\Omega_\Lambda}{\Omega_m}} . $$ ```{python} aa, OL, Om = sp.symbols("a Omega_Lambda Omega_m", positive=True) t_exact = 2 / (3 * sp.sqrt(OL)) * sp.asinh(sp.sqrt(OL / Om) * aa ** sp.Rational(3, 2)) integrand = 1 / (aa * sp.sqrt(Om / aa**3 + OL)) print("d t/da − 1/(aE) =", sp.simplify(sp.diff(t_exact, aa) - integrand)) t0_exact = t_H * float(t_exact.subs({aa: 1, OL: Om_L, Om: Om_m + Om_r})) print(f"t₀ (вещество + Λ, точно) = {t0_exact:.3f} млрд лет") ``` **История масштабного фактора.** Решим уравнение $\dot a = H_0\,aE(a)$ численно, начав с малого $a$ в эпоху излучения, где $a \approx (2\sqrt{\Omega_r}H_0t)^{1/2}$: ```{python} #| label: fig-friedmann #| fig-cap: "Сверху: масштабный фактор a(t) модели ΛCDM (Planck 2018) и асимптотики. Снизу: доли компонент Ω_i(t) = ρ_i/ρ_полн; вертикальные линии — равенство излучения и вещества, начало ускорения и сегодняшний день. Шкала времени логарифмическая." import matplotlib.pyplot as plt from scipy.optimize import brentq a_init = 1e-8 t_init = a_init**2 / (2 * math.sqrt(Om_r)) * t_H sol = solve_ivp(lambda tt, y: [y[0] * E(y[0]) / t_H], [t_init, 60], [a_init], method="LSODA", rtol=1e-10, atol=1e-20, dense_output=True) tt = np.logspace(math.log10(t_init), math.log10(60), 600) aa_t = sol.sol(tt)[0] t_today = brentq(lambda tq: sol.sol(tq)[0] - 1, 1, 30) rho_parts = np.array([Om_r / aa_t**4, Om_m / aa_t**3, Om_L * np.ones_like(aa_t)]) frac = rho_parts / rho_parts.sum(axis=0) fig, (ax1, ax2) = plt.subplots(2, 1, figsize=(7, 6), sharex=True, gridspec_kw={"height_ratios": [3, 2]}) ax1.loglog(tt, aa_t, "k", lw=1.5, label="ΛCDM") ax1.loglog(tt, (2 * math.sqrt(Om_r) * tt / t_H) ** 0.5, ":", color="tab:orange", label=r"излучение: $a \propto t^{1/2}$") ax1.loglog(tt, (1.5 * math.sqrt(Om_m) * tt / t_H) ** (2 / 3), "--", color="tab:blue", label=r"вещество: $a \propto t^{2/3}$") ax1.set(ylim=(1e-5, 30), ylabel="a(t)") ax1.legend(loc="upper left", fontsize=9) for f, name, col in zip(frac, ["излучение", "вещество", "Λ"], ["tab:orange", "tab:blue", "tab:green"]): ax2.semilogx(tt, f, color=col, label=name) for zz, label in [(z_eq, "равенство\nизл. и вещ."), (z_acc, "начало\nускорения"), (0, "сегодня")]: tz = age(1 / (1 + zz)) for ax in (ax1, ax2): ax.axvline(tz, color="0.6", lw=0.7) right = label == "сегодня" ax1.text(tz * (1.15 if right else 0.8), 2e-5, label, fontsize=8, color="0.35", ha="left" if right else "right", va="bottom") ax2.set(xlabel="t, млрд лет", ylabel=r"$\Omega_i(t)$", xlim=(1e-6, 60), ylim=(0, 1.05)) ax2.legend(loc="center", fontsize=9) for ax in (ax1, ax2): ax.grid(alpha=0.2) fig.tight_layout() print(f"a = 1 при t = {t_today:.3f} млрд лет (численное решение ОДУ)") ``` ## Физика и наблюдательный статус - Уравнения Фридмана — следствие ОТО и симметрии [У]{.status}. Их проверки — согласие расстояний по сверхновым, барионных акустических осцилляций и реликтового излучения в рамках одной модели $H(a)$. - Плоская модель ΛCDM с шестью параметрами описывает реликтовое излучение, крупномасштабную структуру и содержание лёгких элементов [У]{.status}. Сегодня $\Omega_\kappa$ совместима с нулём с точностью около $2\cdot10^{-3}$ (Planck 2018 с БАО). - Природа тёмной энергии неизвестна. Что это космологическая постоянная ($w = -1$ точно) — гипотеза [Г]{.status}. По данным DESI (выпуск DR2, 2025 г.) в сочетании с реликтовым излучением и сверхновыми эволюционирующая тёмная энергия предпочтительнее $\Lambda$ на уровне 2,8–4,2σ в зависимости от выборки сверхновых; по данным на 2025 г. это не считается открытием (тема «Меняется ли тёмная энергия?»). - Измерения $H_0$ по цефеидам и сверхновым дают $73{,}0 \pm 1{,}0$ км·с⁻¹·Мпк⁻¹ (Рисс и соавторы, 2022), против $67{,}4 \pm 0{,}5$ из реликтового излучения в ΛCDM: расхождение около 5σ [У]{.status}; его причина — систематика или новая физика — не установлена [Г]{.status} (тема «Горячая Вселенная — наблюдательные основания»). ## Итоги - Уравнения Эйнштейна для метрики ФЛРУ и идеальной жидкости: $H^2 = \frac{8\pi G}{3}\rho - \frac{\kappa}{a^2}$, $\frac{\ddot a}{a} = -\frac{4\pi G}{3}(\rho + 3p)$; уравнение непрерывности $\dot\rho + 3H(\rho + p) = 0$ из них следует. - При $w = \text{const}$: $\rho \propto a^{-3(1+w)}$; вещество — $a \propto t^{2/3}$, излучение — $t^{1/2}$, $\Lambda$ — $e^{Ht}$. - ΛCDM (Planck18): равенство излучения и вещества при $z \approx 3400$ (через 51 тыс. лет), ускорение с $z \approx 0{,}64$ (7,6 млрд лет), равенство вещества и Λ при $z \approx 0{,}30$; возраст 13,79 млрд лет. - Давление гравитирует: при $p < -\rho/3$ расширение ускоряется. ## Упражнения 1. Найдите возраст плоской Вселенной с одной компонентой $w = \text{const}$ через $H_0$. Каким он был бы для пыли при $H_0 = 67{,}66$ км·с⁻¹·Мпк⁻¹? А при $H_0 = 73{,}0$? 2. Найдите $z_{\rm eq}$ и возраст в момент равенства излучения и вещества, если бы нейтрино не было ($N_{\rm eff} = 0$). Как изменится $z_{\rm eq}$? 3. Покажите, что $\ddot a = 0$ при $\Omega_m(1+z)^3 = 2\Omega_\Lambda$ (без излучения), и найдите возраст Вселенной в момент начала ускорения в долях нынешнего. 4. Статическая вселенная Эйнштейна: пыль и $\Lambda$, $\dot a = \ddot a = 0$. Найдите связь $\rho_m$, $\Lambda$ и $\kappa/a^2$. Почему решение неустойчиво? 5. Решите численно уравнение для $a(t)$ в будущем ($t > t_0$). Через сколько лет масштабный фактор удвоится? Чему равно асимптотическое хаббловское время $1/(H_0\sqrt{\Omega_\Lambda})$? ::: {.callout-tip collapse="true"} ## Ответы 1. $t_0 = \dfrac{2}{3(1+w)H_0}$; для пыли $t_0 = 2/(3H_0) = 9{,}63$ млрд лет, при $H_0 = 73{,}0$ — 8,93 млрд лет. Это меньше возраста старейших звёзд ($\approx 12$–13 млрд лет), поэтому модель Эйнштейна–де Ситтера отвергнута ещё до открытия ускорения. 2. Без нейтрино $\Omega_r = \Omega_\gamma$: $z_{\rm eq} = 5760$ вместо 3400; равенство наступило бы через 23 тыс. лет вместо 51 тыс. Число релятивистских степеней свободы прямо сдвигает $z_{\rm eq}$ — поэтому реликтовое излучение чувствительно к $N_{\rm eff}$. 3. $\ddot a \propto -(\rho_m - 2\rho_\Lambda)$ при $p_m = 0$, $p_\Lambda = -\rho_\Lambda$. Возраст при $z_{\rm acc} = 0{,}64$ — 7,6 млрд лет, 0,55 нынешнего. 4. $\Lambda = 4\pi G\rho_m$, $\kappa/a^2 = \Lambda > 0$ (замкнутая). При малом сжатии $\rho_m$ растёт, притяжение побеждает, и сжатие ускоряется; при расширении — наоборот. Равновесие неустойчиво. 5. Масштабный фактор удвоится через 11,1 млрд лет после сегодняшнего дня; асимптотическое хаббловское время — 17,4 млрд лет (время $e$-кратного расширения), удвоение асимптотически происходит за $\ln 2/(H_0\sqrt{\Omega_\Lambda}) = 12{,}1$ млрд лет. Сегодня удвоение быстрее асимптотического: вклад вещества ещё увеличивает $H$. ::: ## Литература - Friedman A. Über die Krümmung des Raumes. *Z. Phys.* **10**, 377 (1922). - Lemaître G. Un Univers homogène de masse constante et de rayon croissant rendant compte de la vitesse radiale des nébuleuses extra-galactiques. *Ann. Soc. Sci. Bruxelles A* **47**, 49 (1927). - Горбунов Д. С., Рубаков В. А. *Введение в теорию ранней Вселенной: Теория горячего Большого взрыва.* — М.: ЛКИ, 2008. Гл. 3–4. - Planck Collaboration. Planck 2018 results. VI. Cosmological parameters. *Astron. Astrophys.* **641**, A6 (2020), arXiv:1807.06209. - Milne E. A. A Newtonian expanding universe. *Q. J. Math.* **5**, 64 (1934); McCrea W. H., Milne E. A. Newtonian universes and the curvature of space. *Q. J. Math.* **5**, 73 (1934). - Riess A. G. et al. A comprehensive measurement of the local value of the Hubble constant with 1 km/s/Mpc uncertainty from the Hubble Space Telescope and the SH0ES team. *Astrophys. J. Lett.* **934**, L7 (2022), arXiv:2112.04510. - DESI Collaboration. DESI DR2 results II: measurements of baryon acoustic oscillations and cosmological constraints. *Phys. Rev. D* **112**, 083515 (2025), arXiv:2503.14738. ```{python} #| echo: false #| output: false # Проверка формул и ответов (не показывается на странице) close = lambda x, y, rel=1e-2: math.isclose(x, y, rel_tol=rel) # уравнения Фридмана и непрерывности assert sp.simplify(H2 - (sp.Rational(8, 3) * sp.pi * Gn * rho - k / a**2)) == 0 assert sp.simplify(acc + sp.Rational(4, 3) * sp.pi * Gn * (rho + 3 * p)) == 0 assert sp.simplify(rho_dot + 3 * adot / a * (rho + p)) == 0 # эпохи и возраст assert round(z_eq, -2) == 3400 and round(z_acc, 2) == 0.64 and round(z_mL, 2) == 0.30 assert close(t0, Planck18.age(0).to(u.Gyr).value, 5e-4) and round(t0, 2) == 13.79 assert round(age(1 / (1 + z_acc)), 1) == 7.6 assert round(age(1 / (1 + z_eq)) * 1e9, -3) == 51e3 assert abs(t_today - t0) / t0 < 1e-5 # 1 assert round(2 / 3 * t_H, 2) == 9.63 assert round(2 / 3 * (1 / (73.0 * u.km / u.s / u.Mpc)).to(u.Gyr).value, 2) == 8.93 # 2 z_eq0 = Om_m / Om_g - 1 E0 = lambda a: np.sqrt(Om_g / a**4 + (1 - Om_g - Om_L) / a**3 + Om_L) t_eq0 = t_H * quad(lambda a: 1 / (a * E0(a)), 0, 1 / (1 + z_eq0))[0] * 1e9 assert round(z_eq0, -1) == 5760 and round(t_eq0, -3) == 23e3 # 3 assert round(age(1 / (1 + z_acc)) / t0, 2) == 0.55 # 4 lam, rm, kk = sp.symbols("Lambda rho_m k_over_a2") s4 = sp.solve([sp.Eq(0, sp.Rational(8, 3) * sp.pi * Gn * rm + lam / 3 - kk), sp.Eq(0, -sp.Rational(4, 3) * sp.pi * Gn * rm + lam / 3)], [lam, kk]) assert sp.simplify(s4[lam] - 4 * sp.pi * Gn * rm) == 0 and sp.simplify(s4[kk] - s4[lam]) == 0 # 5 t_double = solve_ivp(lambda tt, y: [y[0] * E(y[0]) / t_H], [t0, 200], [1.0], events=lambda tt, y: y[0] - 2, rtol=1e-10).t_events[0][0] - t0 assert round(t_double, 1) == 11.1 assert round(t_H / math.sqrt(Om_L), 1) == 17.4 and round(t_H / math.sqrt(Om_L) * math.log(2), 1) == 12.1 ```