\( \newcommand{\dd}{\mathrm{d}} \newcommand{\pd}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2}} \newcommand{\Mpl}{M_{\mathrm{Pl}}} \newcommand{\Mpr}{M_{\mathrm{P}}} \newcommand{\Msun}{M_\odot} \newcommand{\Lsun}{L_\odot} \newcommand{\Phim}{\Phi_m} \)

Байесовский вывод и сравнение моделей

Теорема Байеса как правило вывода; сочетание измерений и мера их несогласия (напряжённость Хаббла); байесовский фактор, бритва Оккама и парадокс Линдли; эффекты селекции — смещение Малмквиста и наблюдательная селекция; зависимость вывода от априорного распределения при единственном наблюдении

УведомлениеУровень и связи

Уровень: 1 — основы; статус: [У] установлено

Нужно знать: —

Куда дальше: Что считать установленным, Антропные рассуждения (в работе), Экзопланеты и биосигнатуры (в работе), Меняется ли тёмная энергия? (в работе)

В космологии нельзя поставить эксперимент: Вселенная одна, её прошлое доступно только через свет и реликты, а многие утверждения пособия — о сценариях, которые никто не увидит. Вывод в таких условиях — это взвешивание гипотез по данным, и почти всё, что пишут о параметрах ΛCDM, о «напряжённостях» и о свидетельствах в пользу новой физики, сформулировано на байесовском языке. Здесь собран минимум, нужный, чтобы читать такие утверждения критически: теорема Байеса, сочетание измерений, сравнение моделей и эффекты селекции. Сама теория вероятностей считается известной.

Теорема Байеса как правило вывода

Пусть модель \(M\) с параметрами \(\theta\) предсказывает распределение данных \(p(D\,|\,\theta, M)\).

Определение 1 Правдоподобие — \(\mathcal L(\theta) = p(D\,|\,\theta, M)\) как функция \(\theta\) при фиксированных данных. Априорное распределение \(\pi(\theta) = p(\theta\,|\,M)\) выражает знание о \(\theta\) до данных. Апостериорное распределение \[ p(\theta\,|\,D, M) = \frac{\mathcal L(\theta)\,\pi(\theta)}{Z}, \qquad Z = p(D\,|\,M) = \int \mathcal L(\theta)\,\pi(\theta)\,\dd\theta . \] Нормировка \(Z\) — обоснованность (evidence, маргинальное правдоподобие) модели: вероятность получить именно эти данные, усреднённая по априорному распределению параметров.

Теорема Байеса — тождество теории вероятностей У. Спорна не она, а интерпретация вероятности как степени уверенности и выбор \(\pi(\theta)\); о практической стороне этого спора — ниже.

Сочетание измерений и мера несогласия

Два независимых гауссовых измерения \(x_1 \pm \sigma_1\) и \(x_2 \pm \sigma_2\) одной величины \(\mu\) при широком равномерном априорном распределении дают гауссово апостериорное распределение. Проверим символьно, что произведение правдоподобий — гауссиана со средним, взвешенным обратными дисперсиями:

import math

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import sympy as sp
from scipy import stats
from scipy.integrate import quad
from scipy.optimize import brentq

mu, x1, x2 = sp.symbols("mu x_1 x_2", real=True)
s1, s2 = sp.symbols("sigma_1 sigma_2", positive=True)
log_post = -(mu - x1)**2 / (2 * s1**2) - (mu - x2)**2 / (2 * s2**2)
w1, w2 = 1 / s1**2, 1 / s2**2
mu_hat = (w1 * x1 + w2 * x2) / (w1 + w2)
sigma_hat = 1 / sp.sqrt(w1 + w2)
# log p(μ) = −(μ − μ̂)²/(2σ̂²) + const: разность не зависит от μ
diff = sp.simplify(log_post + (mu - mu_hat)**2 / (2 * sigma_hat**2))
print("зависит ли остаток от μ:", sp.diff(diff, mu).simplify() != 0)
print("остаток =", sp.factor(diff))

зависит ли остаток от μ: False
остаток = -(x_1 - x_2)**2/(2*(sigma_1**2 + sigma_2**2))

Остаток не зависит от \(\mu\) и равен \(-\chi^2_{\min}/2\), где \[ \chi^2_{\min} = \frac{(x_1 - x_2)^2}{\sigma_1^2 + \sigma_2^2}. \] Отсюда два вывода. Апостериорное среднее и ошибка \(\hat\mu = \sum w_i x_i/\sum w_i\), \(\hat\sigma = (\sum w_i)^{-1/2}\) существуют всегда, но смысл имеют, только если измерения согласуются: \(\chi^2_{\min}\) — это и есть мера несогласия, и её надо проверять до усреднения.

Пример: напряжённость Хаббла. Локальное измерение по цефеидам и сверхновым \(H_0 = 73{,}0 \pm 1{,}0\) км·с⁻¹·Мпк⁻¹ (Рисс и соавторы, 2022) и вывод из реликтового излучения в ΛCDM \(67{,}4 \pm 0{,}5\) (Planck, 2020):

H_loc, sH_loc = 73.0, 1.0      # SH0ES (Riess et al. 2022)
H_cmb, sH_cmb = 67.4, 0.5      # Planck 2018, ΛCDM

def combine(xs, sigmas):
    """Среднее с весами 1/σ², его ошибка и χ² относительно среднего."""
    w = 1 / np.asarray(sigmas)**2
    m = np.sum(w * xs) / np.sum(w)
    return m, np.sum(w)**-0.5, np.sum(w * (np.asarray(xs) - m)**2)

H_mean, H_err, chi2_H = combine([H_loc, H_cmb], [sH_loc, sH_cmb])
tension = (H_loc - H_cmb) / math.hypot(sH_loc, sH_cmb)
p_H = stats.chi2.sf(chi2_H, df=1)
print(f"формальное среднее: {H_mean:.2f} ± {H_err:.2f}")
print(f"χ²_min = {chi2_H:.1f} при 1 степени свободы, p = {p_H:.1e}")
print(f"расхождение: {tension:.1f}σ")

формальное среднее: 68.52 ± 0.45
χ²_min = 25.1 при 1 степени свободы, p = 5.5e-07
расхождение: 5.0σ

Число \(68{,}52 \pm 0{,}45\) ничего не значит: вероятность получить такое расхождение случайно — \(5{,}5\cdot10^{-7}\), т. е. по крайней мере одна из моделей ошибок (или ΛCDM, через которую \(H_0\) извлекается из реликтового излучения) неверна У. Какая именно — данные в этой постановке не говорят; это вопрос сравнения моделей (тема «Уравнения Фридмана», раздел о наблюдательном статусе).

Сравнение моделей: байесовский фактор

Определение 2 Байесовский фактор моделей \(M_0\) и \(M_1\) — отношение их обоснованностей \(B_{01} = Z_0/Z_1\). Апостериорное отношение шансов \[ \frac{p(M_0\,|\,D)}{p(M_1\,|\,D)} = B_{01}\,\frac{p(M_0)}{p(M_1)} \] равно байесовскому фактору, умноженному на априорное отношение шансов.

Условная шкала Джеффриса в редакции Касса и Рафтери (1995): \(B\) от 1 до 3 — «не стоит упоминания», от 3 до 20 — положительное свидетельство, от 20 до 150 — сильное, больше 150 — очень сильное. Это соглашение, а не теорема.

Бритва Оккама встроена в \(Z\). Если правдоподобие резко сосредоточено около \(\hat\theta\) с шириной \(\sigma_\theta\), а априорное распределение равномерно на интервале \(\Delta\theta \gg \sigma_\theta\), то \[ Z \approx \mathcal L(\hat\theta)\,\frac{\sqrt{2\pi}\,\sigma_\theta}{\Delta\theta} . \] Второй множитель — множитель Оккама \(< 1\): модель с лишним параметром «расплачивается» за долю априорного объёма, которую данные исключили. Сложная модель выигрывает, только если улучшение \(\mathcal L_{\max}\) это перевешивает.

Вложенные гауссовы модели. Пусть измерена величина \(x\) с ошибкой \(\sigma\). Модель \(M_0\): \(\theta = 0\) (например, \(w + 1 = 0\) для тёмной энергии). Модель \(M_1\): \(\theta\) свободен с априорным распределением \(\mathcal N(0, \tau^2)\). Тогда \(Z_0 = \mathcal N(x; 0, \sigma^2)\), \(Z_1 = \mathcal N(x; 0, \sigma^2 + \tau^2)\):

x, s, tau, th = sp.symbols("x sigma tau theta", positive=True)
gauss = lambda v, m, var: sp.exp(-(v - m)**2 / (2 * var)) / sp.sqrt(2 * sp.pi * var)
Z0 = gauss(x, 0, s**2)
Z1 = sp.integrate(gauss(x, th, s**2) * gauss(th, 0, tau**2), (th, -sp.oo, sp.oo))
print("Z₁ = N(x; 0, σ² + τ²):", sp.simplify(Z1 / gauss(x, 0, s**2 + tau**2)) == 1)
B01_sym = sp.simplify(Z0 / gauss(x, 0, s**2 + tau**2))
print("B₀₁ =", B01_sym)

Z₁ = N(x; 0, σ² + τ²): True
B₀₁ = sqrt(sigma**2 + tau**2)*exp(-tau**2*x**2/(2*sigma**2*(sigma**2 + tau**2)))/sigma

В переменных \(\nu = x/\sigma\) (значимость отклонения от нуля) и \(r = \tau/\sigma\) (ширина априорного распределения в единицах ошибки): \[ B_{01} = \sqrt{1 + r^2}\,\exp\!\left(-\frac{\nu^2}{2}\,\frac{r^2}{1 + r^2}\right). \] При \(r \to \infty\) фактор растёт как \(r\,e^{-\nu^2/2}\): при любом фиксированном \(\nu\) достаточно широкое априорное распределение делает свидетельство в пользу простой модели сколь угодно сильным. Это парадокс Линдли (1957): \(p\)-значение и байесовский фактор отвечают на разные вопросы, и «3σ» само по себе не означает свидетельства против \(M_0\).

def B01(nu, r):
    return np.sqrt(1 + r**2) * np.exp(-nu**2 / 2 * r**2 / (1 + r**2))

r_grid = np.logspace(-1, 4, 400)
fig, ax = plt.subplots(figsize=(7, 4.2))
for B_lo, B_hi, c in [(1 / 3, 3, "0.92"), (1 / 20, 1 / 3, "#fde0c5"), (3, 20, "#d5e8f5")]:
    ax.axhspan(B_lo, B_hi, color=c, lw=0)
for nu, col in zip([2, 3, 4, 5], ["tab:blue", "tab:orange", "tab:red", "tab:purple"]):
    ax.loglog(r_grid, B01(nu, r_grid), color=col, label=fr"$\nu = {nu}$")
ax.axhline(1, color="k", lw=0.7)
ax.set(xlabel=r"$\tau/\sigma$ (ширина априорного распределения $M_1$)",
       ylabel=r"$B_{01} = Z_0/Z_1$", ylim=(1e-5, 1e3), xlim=(0.1, 1e4))
ax.text(0.13, 1.4, "в пользу $M_0$ ($\\theta = 0$)", fontsize=8, va="bottom")
ax.text(0.13, 0.7, "в пользу $M_1$", fontsize=8, va="top")
ax.legend(loc="lower right", fontsize=9)
ax.grid(alpha=0.2, which="both")
fig.tight_layout()

for nu in (2, 3, 4):
    r_eq = sp.nsolve(sp.log(B01_sym.subs({x: nu, s: 1, tau: sp.Symbol("r")})),
                     sp.Symbol("r"), 50 if nu > 2 else 5)
    print(f"ν = {nu}: B₀₁ = 1 при τ/σ = {float(r_eq):.0f};  "
          f"B₀₁(τ/σ = 10) = {B01(nu, 10):.3g},  B₀₁(τ/σ = 100) = {B01(nu, 100):.3g}")
print(f"двустороннее p-значение для 3σ: {2 * stats.norm.sf(3):.4f}")

ν = 2: B₀₁ = 1 при τ/σ = 7;  B₀₁(τ/σ = 10) = 1.39,  B₀₁(τ/σ = 100) = 13.5
ν = 3: B₀₁ = 1 при τ/σ = 90;  B₀₁(τ/σ = 10) = 0.117,  B₀₁(τ/σ = 100) = 1.11
ν = 4: B₀₁ = 1 при τ/σ = 2981;  B₀₁(τ/σ = 10) = 0.00365,  B₀₁(τ/σ = 100) = 0.0336
двустороннее p-значение для 3σ: 0.0027

Рисунок 1: Байесовский фактор B₀₁ в пользу модели θ = 0 для измерения, отклонившегося от нуля на ν стандартных ошибок, как функция ширины априорного распределения τ/σ альтернативной модели. Полосы — шкала Касса–Рафтери: серая — «не стоит упоминания» (1/3 < B₀₁ < 3), голубая и оранжевая — положительное свидетельство (от 3 до 20) в пользу M₀ и M₁ соответственно. Выше единицы данные свидетельствуют в пользу простой модели.

Отклонение на \(3\sigma\) (\(p = 0{,}0027\)) при априорной ширине в 10 ошибок даёт \(B_{01} \approx 0{,}12\), т. е. около 9:1 в пользу \(M_1\); при ширине в 100 ошибок — уже \(B_{01} \approx 1{,}1\), данные ничего не решают. А отклонение на \(2\sigma\) ни при какой ширине не даёт и положительного свидетельства против \(M_0\): минимум по \(r\) равен \(\nu\,e^{-(\nu^2-1)/2} \approx 0{,}45\) (достигается при \(r^2 = \nu^2 - 1\)). Поэтому утверждения вида «новая физика предпочтительнее на \(n\sigma\)» всегда надо читать вместе с тем, какая альтернатива и с каким априорным распределением рассматривалась (так, сообщения DESI 2025 г. о меняющейся тёмной энергии сформулированы в терминах значимости при фиксированной параметризации \(w_0, w_a\)).

Эффекты селекции

Правдоподобие должно описывать, как данные попали в выборку. Если отбор зависит от измеряемой величины, наивный вывод смещён.

Смещение Малмквиста. Объекты с гауссовой функцией светимости (абсолютная звёздная величина \(M\), среднее \(M_0\), разброс \(\sigma\)) равномерно заполняют евклидово пространство; в каталог попадают объекты ярче видимой величины \(m_{\lim}\). Среди объектов с данной видимой величиной \(m\) число находящихся на расстоянии \(d\) пропорционально \(d^2\,\dd d \propto 10^{0.6(m - M)}\,\dd M\), поэтому распределение \(M\) при данном \(m\) — гауссиана, умноженная на \(e^{-0.6\ln 10\,M}\):

M_, M0, sM, k = sp.symbols("M M_0 sigma_M k", real=True)
k_val = sp.Rational(3, 5) * sp.log(10)           # 0,6 ln 10
w = sp.exp(-(M_ - M0)**2 / (2 * sM**2) - k * M_)
mean_M = sp.integrate(M_ * w, (M_, -sp.oo, sp.oo), conds="none") / \
         sp.integrate(w, (M_, -sp.oo, sp.oo), conds="none")
shift = sp.simplify(mean_M - M0)
print("⟨M⟩ − M₀ =", shift, "=", f"{float(shift.subs(k, k_val) / sM**2):.4f} σ²")

⟨M⟩ − M₀ = -k*sigma_M**2 = -1.3816 σ²

\[ \langle M\rangle - M_0 = -0{,}6\ln 10\;\sigma^2 = -1{,}382\,\sigma^2 . \] Сдвиг одинаков для всех \(m\), и значит, для всей выборки, ограниченной по потоку: средний объект каталога ярче среднего объекта в пространстве. Проверим моделированием (о методе — тема «Методы Монте-Карло и стохастическое моделирование»):

rng = np.random.default_rng(2026)
n_obj, sigma_M = 4_000_000, 0.5
d = 1000 * rng.random(n_obj) ** (1 / 3)        # равномерно в шаре, пк
M_abs = rng.normal(0.0, sigma_M, n_obj)
m_app = M_abs + 5 * np.log10(d / 10)           # модуль расстояния
m_lim = np.quantile(m_app, 0.05)               # каталог: 5 % самых ярких
sel = m_app < m_lim
mc_shift = M_abs[sel].mean()
print(f"в каталоге {sel.sum()} объектов; ⟨M⟩ − M₀ = {mc_shift:.3f}, "
      f"формула: {-0.6 * math.log(10) * sigma_M**2:.3f}")

в каталоге 200000 объектов; ⟨M⟩ − M₀ = -0.348, формула: -0.345

(Порог выбран так, чтобы каталог не доставал до границы шара: иначе пространство «кончается» и сдвиг меньше.) Смещение Малмквиста и родственные эффекты — главная систематика шкалы внегалактических расстояний У (обзор: Теерикорпи, 1997).

Наблюдательная селекция. Тот же вопрос — «как данные попали в выборку» — возникает, когда наблюдатель сам является частью выборки. Мы измеряем свойства Вселенной только там и тогда, где возможны наблюдатели; поэтому, например, то, что мы видим Вселенную в возрасте нескольких миллиардов лет, а не \(10^{-30}\) с, не требует объяснения сверх этого условия. Учитывать такой отбор в правдоподобии — просто корректный вывод (Картер, 1974, назвал это слабым антропным принципом) У. Выводы же о «ансамбле вселенных» требуют гипотезы о существовании и мере ансамбля С (темы «Антропные рассуждения» и «Мультивселенная и проблема меры»).

Единственное наблюдение и роль априорного распределения

Когда данных мало, ответ определяется не ими, а \(\pi(\theta)\). Характерный для этого пособия пример — вывод о частоте зарождения жизни из того, что на Земле она возникла рано (Шпигель и Тёрнер, 2012). Упрощённая модель: жизнь возникает как пуассоновский процесс с темпом \(\lambda\) (в единицах (млрд лет)⁻¹); на Земле она появилась в течение \(t_1\) после того, как это стало возможно. Наблюдатели появляются лишь там, где жизнь возникла не позднее \(t_{\max}\) (иначе не хватит времени на дальнейшую эволюцию). Тогда с учётом селекции \[ \mathcal L(\lambda) = \frac{1 - e^{-\lambda t_1}}{1 - e^{-\lambda t_{\max}}} . \]

t1, t_max = 0.5, 3.0                          # млрд лет: значения условны
lam_lo, lam_hi = 1e-3, 1e3                    # (млрд лет)⁻¹: границы априорного интервала

def like(lam):
    return -np.expm1(-lam * t1) / -np.expm1(-lam * t_max)

def prob_rare(prior, lam_cut=1.0):
    """P(λ < lam_cut | данные) для априорной плотности prior(λ)."""
    f = lambda lam: like(lam) * prior(lam)
    num = quad(f, lam_lo, lam_cut, limit=200)[0]
    return num / (num + quad(f, lam_cut, lam_hi, limit=200)[0])

uniform = lambda lam: 1.0
log_uniform = lambda lam: 1 / lam
print(f"L(λ → 0) = t₁/t_max = {like(1e-9):.3f};  L(λ → ∞) = {like(1e3):.3f}")
for name, prior in [("равномерное по λ", uniform), ("равномерное по ln λ", log_uniform)]:
    print(f"{name:20s}: P(λ < 1/млрд лет | D) = {prob_rare(prior):.4f}")

L(λ → 0) = t₁/t_max = 0.167;  L(λ → ∞) = 1.000
равномерное по λ    : P(λ < 1/млрд лет | D) = 0.0003
равномерное по ln λ : P(λ < 1/млрд лет | D) = 0.1789

Правдоподобие меняется всего в \(t_{\max}/t_1 = 6\) раз между «жизнь редка» и «жизнь неизбежна» — данные слабые. При априорном распределении, равномерном по \(\lambda\), вероятность редкой жизни \(\lambda < 1\) (млрд лет)⁻¹ ничтожна (около \(3\cdot10^{-4}\)), при равномерном по \(\ln\lambda\) — около 0,18: ответ задаёт выбор априорного распределения, а не наблюдение У. Это не довод против байесовского подхода: он лишь делает явной зависимость, которая в словесном рассуждении («жизнь возникла быстро, значит, она возникает легко») скрыта.

Физика и наблюдательный статус

• Правила байесовского вывода — математика У. Когда данные сильные (\(\sigma_\theta \ll\) ширины \(\pi\)), апостериорное распределение от априорного почти не зависит, и байесовские и частотные доверительные интервалы практически совпадают.
• Байесовский фактор, в отличие от апостериорного распределения параметров, зависит от ширины априорного распределения всегда, линейно при \(\tau \gg \sigma\). Результаты сравнения моделей без обоснования априорных распределений не следует принимать как количественные.
• Интерпретация вероятности (частота или степень уверенности) — предмет незавершённого философского спора; на практические выводы при хороших данных он не влияет.
• Учёт селекции — обязательная часть модели данных; выводы о мире, сделанные из выборки с неучтённой селекцией, систематически смещены.

Итоги

• \(p(\theta\,|\,D) = \mathcal L(\theta)\pi(\theta)/Z\); обоснованность \(Z\) включает множитель Оккама \(\approx \sqrt{2\pi}\sigma_\theta/\Delta\theta\).
• Сочетать измерения можно только после проверки согласия: \(\chi^2_{\min} = (x_1 - x_2)^2/(\sigma_1^2 + \sigma_2^2)\). Для \(H_0\) (73,0 ± 1,0 и 67,4 ± 0,5) расхождение 5,0σ, \(p \approx 5{,}5\cdot10^{-7}\).
• Для вложенных гауссовых моделей \(B_{01} = \sqrt{1 + r^2}\,e^{-\nu^2 r^2/2(1+r^2)}\); отклонение на 3σ нейтрально при \(\tau/\sigma \approx 90\) (парадокс Линдли).
• Выборка, ограниченная по потоку, смещена: \(\Delta M = -1{,}382\,\sigma^2\) (Малмквист).
• При единственном наблюдении вывод определяется априорным распределением.

Упражнения

1. Какую дополнительную систематическую ошибку \(\sigma_{\rm sys}\) надо добавить к локальному измерению \(H_0\), чтобы \(\chi^2_{\min}\) для пары измерений стал равен 1? Каким тогда будет формальное среднее?
2. Получите множитель Оккама из точного \(B_{01}\): покажите, что при \(r \gg 1\) и \(\nu^2 \ll r^2\) \(B_{01} \approx r\,e^{-\nu^2/2}\), и сравните с приближением \(Z \approx \mathcal L_{\max}\sqrt{2\pi}\sigma_\theta/\Delta\theta\) для равномерного априорного распределения ширины \(\Delta\theta = \sqrt{2\pi}\,\tau\).
3. Отношение Сэвиджа–Дики: для вложенных моделей \(B_{01} = p(\theta = 0\,|\,D, M_1)/\pi(\theta = 0\,|\,M_1)\). Проверьте эту формулу для гауссовой модели из текста.
4. Сверхновые Ia после стандартизации имеют разброс абсолютной величины \(\sigma_M \approx 0{,}3\). Насколько, без учёта смещения Малмквиста, были бы занижены расстояния в выборке, ограниченной по потоку, и в какую сторону сместилась бы оценка \(H_0\)?
5. В модели раннего зарождения жизни найдите \(P(\lambda < 1~(\text{млрд лет})^{-1}\,|\,D)\) при \(t_1 = 0{,}1\) млрд лет (жизнь появилась ещё быстрее) для обоих априорных распределений. Почему результат для логарифмически равномерного распределения изменился мало?

СоветОтветы

1. \(\sigma_{\rm sys} = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 - \sigma_1^2 - \sigma_2^2} = 5{,}5\) км·с⁻¹·Мпк⁻¹, т. е. ошибку локального измерения пришлось бы увеличить в 5,6 раза. Среднее тогда \(67{,}4 \pm 0{,}5\): оно почти целиком задаётся реликтовым излучением.
2. При \(r \gg 1\): \(\sqrt{1+r^2} \to r\), \(r^2/(1+r^2) \to 1\). С другой стороны, \(\mathcal L_{\max}/Z_0 = e^{\nu^2/2}\), а \(Z_1 \approx \mathcal L_{\max}\sqrt{2\pi}\sigma/(\sqrt{2\pi}\tau)\), так что \(B_{01} = Z_0/Z_1 \approx (\tau/\sigma)e^{-\nu^2/2}\) — совпадает. Множитель Оккама — это \(\sigma/\tau = 1/r\).
3. Апостериорное распределение \(\theta\) в \(M_1\) — гауссиана со средним \(x\tau^2/(\sigma^2 + \tau^2)\) и дисперсией \(\sigma^2\tau^2/(\sigma^2 + \tau^2)\); её значение в нуле, делённое на \(\mathcal N(0; 0, \tau^2)\), тождественно равно \(B_{01}\) (проверено SymPy в скрытой ячейке).
4. \(\Delta M = -1{,}382\cdot0{,}09 = -0{,}124\): объекты выборки в среднем ярче, и если приписать им \(M_0\), расстояния будут занижены в \(10^{0{,}2\cdot0{,}124} = 1{,}059\) раза, т. е. на 6 %; \(H_0 = v/d\) — завышена на 6 %. (В реальных калибровках смещение учитывают моделированием отбора.)
5. Правдоподобие при \(\lambda \to 0\) стремится к \(t_1/t_{\max} = 1/30\) вместо \(1/6\). Для равномерного по \(\lambda\) распределения \(P \approx 6\cdot10^{-5}\), для равномерного по \(\ln\lambda\) — 0,054 (было \(3\cdot10^{-4}\) и 0,18). При логарифмически равномерном распределении большая часть априорной массы лежит при \(\lambda \gg 1\), где правдоподобие близко к 1 при любом \(t_1\), а область \(\lambda \ll 1\) подавлена лишь на множитель \(t_1/t_{\max}\); утверждение «жизнь возникает легко» остаётся зависимым от априорного выбора.

Литература

• Jaynes E. T. Probability Theory: The Logic of Science. — Cambridge University Press, 2003.
• Kass R. E., Raftery A. E. Bayes factors. J. Am. Stat. Assoc. 90, 773 (1995).
• Lindley D. V. A statistical paradox. Biometrika 44, 187 (1957).
• Trotta R. Bayes in the sky: Bayesian inference and model selection in cosmology. Contemp. Phys. 49, 71 (2008), arXiv:0803.4089.
• Teerikorpi P. Observational selection bias affecting the determination of the extragalactic distance scale. Annu. Rev. Astron. Astrophys. 35, 101 (1997).
• Carter B. Large number coincidences and the anthropic principle in cosmology. In: Confrontation of Cosmological Theories with Observational Data (IAU Symp. 63), ed. M. S. Longair. — Dordrecht: Reidel, 1974. P. 291.
• Spiegel D. S., Turner E. L. Bayesian analysis of the astrobiological implications of life’s early emergence on Earth. Proc. Natl. Acad. Sci. USA 109, 395 (2012), arXiv:1107.3835.
• Riess A. G. et al. A comprehensive measurement of the local value of the Hubble constant with 1 km/s/Mpc uncertainty from the Hubble Space Telescope and the SH0ES team. Astrophys. J. Lett. 934, L7 (2022), arXiv:2112.04510.
• Planck Collaboration. Planck 2018 results. VI. Cosmological parameters. Astron. Astrophys. 641, A6 (2020), arXiv:1807.06209.