\( \newcommand{\dd}{\mathrm{d}} \newcommand{\pd}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2}} \newcommand{\Mpl}{M_{\mathrm{Pl}}} \newcommand{\Mpr}{M_{\mathrm{P}}} \newcommand{\Msun}{M_\odot} \newcommand{\Lsun}{L_\odot} \newcommand{\Phim}{\Phi_m} \)

Что считать установленным

Критерии меток У, Г, С; доказательство без эксперимента — независимые линии и рискованные предсказания; предел проверяемости одной Вселенной (космическая дисперсия); типичные ошибки «больших нарративов»: апостериорная значимость, конъюнкция, экстраполяция трендов, неопровержимость

УведомлениеУровень и связи

Уровень: 1 — основы; статус: [У] установлено

Нужно знать: Байесовский вывод и сравнение моделей

Куда дальше: —

Каждое содержательное утверждение пособия помечено: установлено У, гипотеза Г или спекуляция С. Здесь объясняется, на чём основана такая разметка, почему в науке о единственной Вселенной, где нельзя поставить контрольный эксперимент, вообще можно что-то считать установленным, и какие ошибки рассуждения чаще всего превращают гипотезу в «факт» в популярных рассказах о космической эволюции. Аппарат — байесовский вывод (тема «Байесовский вывод и сравнение моделей»); здесь он применяется к вопросу о статусе.

Три метки как решения

Метки — не степени уверенности автора, а ответы на два вопроса о утверждении: есть ли у него проверенные следствия и можно ли их проверить хотя бы в принципе.

Определение 1 Утверждение установлено, если выполнено хотя бы одно из условий, и ему не противоречат известные данные:

1. оно следует из теории, проверенной в той же области параметров (энергий, плотностей, масштабов), без дополнительных допущений;
2. его подтверждают несколько независимых линий данных, то есть данных, систематические ошибки которых не связаны;
3. оно было предсказано до наблюдения и выдержало проверку, которая могла его опровергнуть.

Определение 2 Гипотеза — утверждение, из которого следуют наблюдаемые последствия, отличающие его от альтернатив, но эти последствия пока не наблюдались или наблюдались с недостаточной значимостью. Спекуляция — утверждение, согласное с известной физикой, но без наблюдаемых последствий, доступных сегодня или в обозримой перспективе.

Граница между гипотезой и спекуляцией проходит по проверяемости, а не по правдоподобию: распад протона Г маловероятен на доступных временах, но его ищут; «другие вселенные мультивселенной» С могут быть вполне естественным следствием теории, но ни одного их наблюдаемого следствия сегодня не предложено общепринятым образом. Спекуляция — законный предмет мысленного эксперимента, но не довод (Эллис и Силк, 2014).

Две оговорки. Во-первых, «установлено» не значит «окончательно»: ньютоновская гравитация установлена в своей области и остаётся установленной после ОТО. Во-вторых, метка относится к утверждению, а не к модели: «ΛCDM описывает реликтовое излучение» — У, «тёмная энергия — космологическая постоянная» — Г (страница Конвенции).

Доказательство без эксперимента

Астрофизика и космология заменяют контролируемый эксперимент тремя приёмами.

Естественный эксперимент. Природа сама «варьирует параметры»: звёзды разной массы и металличности, галактики на разных красных смещениях, скопления разного возраста. Мы не можем зажечь звезду, но видим их миллиарды на всех стадиях.

Независимые линии. Если два вывода опираются на разную физику и разные инструменты, их байесовские свидетельства перемножаются, а совпадение случайных ошибок маловероятно. Пример У: возраст Вселенной в ΛCDM по реликтовому излучению (13,8 млрд лет) не меньше возраста старейших звёзд (около 12–13 млрд лет), определяемого по теории звёздной эволюции, — а модель без тёмной энергии с той же \(H_0\) этот тест провалила бы (тема «Уравнения Фридмана», упражнение 1).

Рискованное предсказание. Сильнее всего свидетельствует результат, который теория могла бы и не получить. На языке байесовского фактора: если теория \(T\) заранее сосредоточила вероятность исхода в узком интервале, а альтернатива «размазала» её по широкому, то при попадании \(B \approx (\text{ширина у альтернативы})/(\text{ширина у } T)\). Сравним по этому критерию два знаменитых предсказания горячей Вселенной. Альфер и Герман (1948) оценили температуру реликтового излучения сегодня примерно в 5 К; позже измеренная 2,7 К попала в «правильный порядок». А форму спектра — планковскую — теория горячей Вселенной предсказывает точно, и спектрометр FIRAS на COBE не нашёл отклонений на уровне \(|\mu| < 9\cdot10^{-5}\), \(|y| < 1{,}5\cdot10^{-5}\) (Фиксен и соавторы, 1996):

import math

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from scipy import stats
from scipy.optimize import curve_fit

def bayes_factor_log(width_alt, width_theory):
    """B для логарифмически равномерных предсказаний: отношение ширин по ln."""
    return math.log(width_alt) / math.log(width_theory)

# альтернатива: T₀ где угодно от 10⁻³ до 10³ К; теория: «от 1 до 10 К»
B_order = bayes_factor_log(1e6, 10)
# точное предсказание формы: μ-искажение в пределах ±10⁻⁴ при альтернативе,
# допускающей искажения порядка единицы (равномерно на [−1, 1])
B_shape = 2 / 2e-4
print(f"предсказание по порядку величины: B ≈ {B_order:.0f}")
print(f"предсказание формы спектра:       B ≈ {B_shape:.0e}")

предсказание по порядку величины: B ≈ 6
предсказание формы спектра:       B ≈ 1e+04

Оценка «по порядку величины» даёт свидетельство всего около 6:1, а планковская форма спектра — порядка \(10^4\), причём это ещё грубая нижняя оценка (FIRAS проверил не одно число, а сотни частот). Поэтому горячая модель установлена не «потому что предсказала реликтовое излучение», а потому что предсказала его спектр (тема «Горячая Вселенная — наблюдательные основания»).

Предел проверяемости: одна Вселенная

У космологии есть ограничение, которого нет у лабораторной физики: выборка конечна в принципе. Угловое распределение температуры реликтового излучения раскладывается по сферическим гармоникам; на мультиполе \(\ell\) независимых коэффициентов \(a_{\ell m}\) всего \(2\ell + 1\). Если они гауссовы с дисперсией \(C_\ell\), оценка \(\hat C_\ell = \sum_m |a_{\ell m}|^2/(2\ell + 1)\) распределена как \(C_\ell\chi^2_{2\ell+1}/(2\ell+1)\), и её относительная ошибка — космическая дисперсия \[ \frac{\Delta C_\ell}{C_\ell} = \sqrt{\frac{2}{2\ell + 1}} . \]

def cosmic_variance(ell):
    return np.sqrt(2 / (2 * ell + 1))

rng = np.random.default_rng(1)
for ell in (2, 10, 100):
    # моделирование: 2ℓ+1 гауссовых коэффициентов с единичной дисперсией
    # (для простоты вещественных), 200 000 «вселенных»
    a = rng.standard_normal((200_000, 2 * ell + 1))
    C_hat = (a**2).mean(axis=1)
    print(f"ℓ = {ell:3d}: формула {cosmic_variance(ell):.3f}, моделирование {C_hat.std():.3f}")

ell_max = 2500
n_modes = sum(2 * l + 1 for l in range(2, ell_max + 1))
print(f"число независимых мод температуры до ℓ = {ell_max}: {n_modes:.2e}")

ℓ =   2: формула 0.632, моделирование 0.633
ℓ =  10: формула 0.309, моделирование 0.310
ℓ = 100: формула 0.100, моделирование 0.100
число независимых мод температуры до ℓ = 2500: 6.25e+06

На квадруполе (\(\ell = 2\)) ошибка 63 %, и её нельзя уменьшить никаким инструментом: у нас одно небо. Всё, что реликтовое излучение говорит о температурных флуктуациях, сосредоточено примерно в \(6\cdot10^6\) числах (без учёта поляризации и линзирования). Отсюда принципиальная осторожность: утверждения о самых больших масштабах (например, о природе «аномалий» на низких мультиполях) статистически ограничены навсегда У, а утверждения о том, что лежит за горизонтом, проверить нельзя вовсе (тема «Расстояния и горизонты»).

Типичные ошибки больших нарративов

Рассказ о космической эволюции — длинная цепочка от Большого взрыва к разуму. Такие рассказы уязвимы для нескольких ошибок, которые выглядят как доводы.

1. Апостериорная значимость. Если аномалию выбрали после того, как посмотрели на данные, локальная значимость обманывает: среди многих возможных проверок какая-то случайно окажется «значимой» (эффект «поиска в другом месте», look-elsewhere; Гросс и Виттелс, 2010). Для \(N\) независимых проверок \[ p_{\rm глоб} = 1 - (1 - p_{\rm лок})^N . \]

p3 = 2 * stats.norm.sf(3)                       # двусторонний уровень 3σ
for N in (1, 10, 50, 200):
    p_glob = 1 - (1 - p3)**N
    print(f"N = {N:3d}: P(хотя бы одна «аномалия» ≥ 3σ) = {p_glob:.3f}")

N =   1: P(хотя бы одна «аномалия» ≥ 3σ) = 0.003
N =  10: P(хотя бы одна «аномалия» ≥ 3σ) = 0.027
N =  50: P(хотя бы одна «аномалия» ≥ 3σ) = 0.126
N = 200: P(хотя бы одна «аномалия» ≥ 3σ) = 0.418

Из 50 независимых проверок случайного неба хотя бы одна даст «3σ» с вероятностью 13 %. Сообщение «найдена аномалия на уровне \(3\sigma\)» без учёта числа просмотренных вариантов почти ничего не значит; поэтому крупномасштабные аномалии реликтового излучения (Planck, 2020, VII) остаются обсуждаемыми, но не установленными Г.

2. Конъюнкция. Длинная цепочка правдоподобных шагов кажется убедительнее одного шага, хотя вероятность цепочки — произведение вероятностей шагов (при их независимости) и только убывает. Психологи описали это как «ошибку конъюнкции» (Тверски и Канеман, 1983): подробный сценарий кажется вероятнее, чем любая его часть.

for p_step in (0.95, 0.9, 0.8):
    n_half = math.ceil(math.log(0.5) / math.log(p_step))
    print(f"шаг {p_step}: 10 шагов — {p_step**10:.2f}; ниже 1/2 начиная с {n_half} шагов")

шаг 0.95: 10 шагов — 0.60; ниже 1/2 начиная с 14 шагов
шаг 0.9: 10 шагов — 0.35; ниже 1/2 начиная с 7 шагов
шаг 0.8: 10 шагов — 0.11; ниже 1/2 начиная с 4 шагов

Десять шагов по 90 % — это 35 % для всей цепочки. Сценарии далёкого будущего разума (раздел «Разум в далёком будущем») состоят из десятков шагов; поэтому они спекуляции С даже тогда, когда каждый шаг по отдельности выглядит разумно.

3. Экстраполяция тренда. Утверждения «сложность растёт экспоненциально» или «удельная мощность растёт со временем» строятся по отрезку истории. Но на начальном участке логистическая кривая \(N(t) = K/[1 + e^{-r(t - t_*)}]\) неотличима от экспоненты: при \(t \ll t_*\) относительное различие порядка \(N/K\). Смоделируем данные с шумом 5 % на начальном участке логистики и подгоним обе модели:

K_true, r_true, t_star = 1.0, 1.0, 10.0

def logistic(t, K, r, ts):
    return K / (1 + np.exp(-r * (t - ts)))

def exponential(t, A, r):
    return A * np.exp(r * t)

t_data = np.linspace(0, t_star - math.log(9), 25)      # до N/K = 0,1
rng = np.random.default_rng(7)
y_data = logistic(t_data, K_true, r_true, t_star) * (1 + 0.05 * rng.standard_normal(t_data.size))
sigma = 0.05 * y_data

p_exp, _ = curve_fit(exponential, t_data, y_data, p0=[1e-4, 1], sigma=sigma)
p_log, _ = curve_fit(logistic, t_data, y_data, p0=[1, 1, 10], sigma=sigma, maxfev=20000)
chi2 = lambda f, p: np.sum(((y_data - f(t_data, *p)) / sigma)**2)
chi2_exp, chi2_log = chi2(exponential, p_exp), chi2(logistic, p_log)
print(f"χ²: экспонента {chi2_exp:.1f} (23 ст. св.), логистика {chi2_log:.1f} (22 ст. св.)")
print(f"подобранная K логистики: {p_log[0]:.2f} (истинная {K_true})")
t_far = 2 * t_star
print(f"при t = {t_far:.0f}: истина {logistic(t_far, K_true, r_true, t_star):.2f}, "
      f"экспонента {exponential(t_far, *p_exp):.0f}, логистика {logistic(t_far, *p_log):.2f}")

tt = np.linspace(0, 2 * t_star, 400)
fig, ax = plt.subplots(figsize=(7, 4))
ax.semilogy(tt, logistic(tt, K_true, r_true, t_star), "k--", lw=1, label="истинная (логистика)")
ax.semilogy(tt, exponential(tt, *p_exp), color="tab:red", label="подгонка: экспонента")
ax.semilogy(tt, logistic(tt, *p_log), color="tab:blue", label="подгонка: логистика")
ax.errorbar(t_data, y_data, yerr=sigma, fmt="o", ms=3, color="0.3", label="данные")
ax.axvspan(0, t_data[-1], color="0.93", lw=0)
ax.text(0.3, 2e2, "область данных", fontsize=8, color="0.35")
ax.set(xlabel="t (произвольные единицы)", ylabel="N(t)/K", ylim=(1e-5, 1e3))
ax.legend(loc="lower right", fontsize=8)
ax.grid(alpha=0.2)
fig.tight_layout()

χ²: экспонента 14.3 (23 ст. св.), логистика 13.8 (22 ст. св.)
подобранная K логистики: 2.30 (истинная 1.0)
при t = 20: истина 1.00, экспонента 17119, логистика 2.30

Рисунок 1: Экстраполяция тренда. Точки — «данные» с шумом 5 %, взятые с начального участка логистической кривой (до 10 % насыщения). Экспонента и логистика (с подобранными параметрами) описывают их одинаково хорошо, но расходятся на порядки при экстраполяции. Штриховая — истинная кривая.

Обе модели описывают данные (значения \(\chi^2\) почти равны и близки к числу степеней свободы), а предсказания при \(t = 2t_*\) расходятся на четыре порядка. Даже подгонка правильной (логистической) моделью ошибается в уровне насыщения \(K\) более чем вдвое: на начальном участке \(K\) почти не влияет на кривую. Данные с начального участка тренда не говорят ничего о том, где он остановится; утверждение о продолжении роста — гипотеза о механизме, а не следствие данных У. Это прямо касается «кривой Чейссона» (тема «Удельная мощность как мера сложности») и рассуждений о технологической «сингулярности».

4. Неопровержимость. Объяснение, совместимое с любым исходом, не сосредотачивает вероятность ни на одном и потому, по байесовскому фактору, проигрывает любой теории, сделавшей верное предсказание. «Всё развивается к большей сложности» без указания, что именно и когда должно наблюдаться, — не закон, а описание Г (тема «Растёт ли сложность Вселенной?»).

5. Отбор примеров и селекция. Последовательность «частицы → атомы → звёзды → жизнь → разум» составлена из систем, которые мы выбрали как вехи, и наблюдается из единственной точки, где разум возник. Без учёта этого отбора (тема «Байесовский вывод и сравнение моделей», раздел об эффектах селекции) любая последовательность выглядит направленной.

6. Телеология и подмена статуса. «Материя стремится к усложнению», «Вселенная создала наблюдателя, чтобы познать себя» — это не гипотезы о механизме, а метафоры. В пособии они допустимы только как разбираемые цитаты (тема «Что такое космическая эволюция»). Родственная ошибка — переход от «модель описывает» к «природа такова» без новой проверки.

Как метки ставятся в пособии

Решение для отдельного утверждения принимается по схеме:

1. Следует ли утверждение из проверенной теории в её области применимости или подтверждено независимыми линиями данных? — У. Если следствие прямо не наблюдалось (излучение Хокинга), это оговаривается в тексте.
2. Иначе: есть ли наблюдение, которое могло бы его опровергнуть, и выполнимо ли оно сейчас или в обозримом будущем? — Г.
3. Иначе — С.

Количественные утверждения при этом сопровождаются источником и погрешностью; свежие данные — датой («по данным на 2025 г.»), потому что статус гипотез меняется. Если в ходе работы над пособием статус утверждения изменится (например, подтвердится эволюция тёмной энергии, тема «Меняется ли тёмная энергия?»), меняется метка, а не формулировка задним числом.

Итоги

• У — следует из проверенной теории в её области или подтверждено независимыми линиями, в том числе рискованными предсказаниями; Г — есть доступная проверка, но нет подтверждения; С — нет доступных проверок.
• Сила свидетельства измеряется тем, насколько узко теория заранее ограничила исход: «правильный порядок» даёт множитель около 6, точная форма спектра — порядка \(10^4\) и больше.
• Одна Вселенная — конечная выборка: \(\Delta C_\ell/C_\ell = \sqrt{2/(2\ell+1)}\), 63 % на квадруполе.
• Ошибки нарративов: апостериорная значимость (\(p_{\rm глоб} = 1 - (1-p)^N\)), конъюнкция (вероятность цепочки — произведение), экстраполяция тренда (логистика неотличима от экспоненты до насыщения), неопровержимость, неучтённая селекция, телеология.

Упражнения

1. Сколько мультиполей, начиная с \(\ell = 2\), нужно усреднить, чтобы космическая дисперсия средней по полосе мощности (при плоском спектре \(C_\ell\), т. е. одинаковых \(C_\ell\) в полосе) стала меньше 1 %?
2. Аномалия найдена на локальном уровне \(3\sigma\) среди \(N = 20\) рассмотренных возможностей. Какой глобальной значимости (в σ) это соответствует? Какой локальный уровень нужен, чтобы глобальная значимость была \(3\sigma\)?
3. Сценарий состоит из шагов с вероятностью 0,95 каждый. Начиная с какого числа шагов он менее вероятен, чем его отрицание?
4. Покажите, что при \(t \ll t_*\) логистика \(K/[1 + e^{-r(t - t_*)}] = A e^{rt}[1 - N/K + O((N/K)^2)]\) и, следовательно, при шуме \(\varepsilon\) отличить её от экспоненты можно лишь после того, как \(N/K\) превысит примерно \(\varepsilon\).
5. Пусть теория предсказывает \(T_0\) с относительной точностью 1 % (интервал \([0{,}99\,T, 1{,}01\,T]\)), а альтернатива — логарифмически равномерно в интервале от \(10^{-3}\) до \(10^3\) К. Какой байесовский фактор даёт попадание? Сравните с предсказанием «от 1 до 10 К».

СоветОтветы

1. Для полосы \(\ell = 2,\dots,\ell_{\max}\) ошибка средней — \(\sqrt{2/\sum(2\ell+1)} = \sqrt{2/[(\ell_{\max}+1)^2 - 4]}\); она меньше 1 % при \(\ell_{\max} \ge 141\), т. е. нужно 140 мультиполей.
2. \(p_{\rm глоб} = 1 - (1 - 0{,}0027)^{20} = 0{,}053\) — около \(1{,}9\sigma\). Чтобы глобальная значимость была \(3\sigma\), нужен локальный уровень \(p = 1{,}35\cdot10^{-4}\), т. е. \(3{,}8\sigma\).
3. \(0{,}95^{n} < 1/2\) при \(n \ge 14\) (\(0{,}95^{13} = 0{,}513\), \(0{,}95^{14} = 0{,}488\)).
4. \(K/(1 + e^{-x}) = Ke^{x}/(1 + e^{x}) = Ke^{x}(1 - e^{x} + \dots)\), и \(e^{x} = N/K + O((N/K)^2)\). Различие с экспонентой — относительная поправка \(N/K\); на фоне шума \(\varepsilon\) она заметна лишь при \(N/K \gtrsim \varepsilon\) (в примере текста данные заканчиваются при \(N/K = 0{,}1\), и при шуме 5 % на отдельных точках модели почти неразличимы).
5. \(B = \ln(10^6)/\ln(1{,}01/0{,}99) = 690\) против 6 у предсказания «по порядку». Точность предсказания, а не его «правильность», определяет силу свидетельства.

Литература

• Popper K. The Logic of Scientific Discovery. — London: Hutchinson, 1959 (нем. оригинал: Logik der Forschung, 1934).
• Ellis G. F. R. Issues in the philosophy of cosmology. arXiv:astro-ph/0602280 (2006).
• Ellis G., Silk J. Scientific method: Defend the integrity of physics. Nature 516, 321 (2014).
• Alpher R. A., Herman R. Evolution of the Universe. Nature 162, 774 (1948).
• Fixsen D. J. et al. The cosmic microwave background spectrum from the full COBE FIRAS data set. Astrophys. J. 473, 576 (1996).
• Planck Collaboration. Planck 2018 results. VII. Isotropy and statistics of the CMB. Astron. Astrophys. 641, A7 (2020), arXiv:1906.02552.
• Gross E., Vitells O. Trial factors for the look elsewhere effect in high energy physics. Eur. Phys. J. C 70, 525 (2010).
• Tversky A., Kahneman D. Extensional versus intuitive reasoning: the conjunction fallacy in probability judgment. Psychol. Rev. 90, 293 (1983).
• Trotta R. Bayes in the sky: Bayesian inference and model selection in cosmology. Contemp. Phys. 49, 71 (2008), arXiv:0803.4089.