Расстояния и горизонты

Сопутствующее расстояние и расстояние поперечного движения; фотометрическое и угловое расстояния, соотношение Этерингтона, максимум углового расстояния; горизонт частиц, горизонт событий и хаббловская сфера в ΛCDM; пространственно-временная диаграмма; какая часть видимой Вселенной ещё достижима

Уровень и связи

Уровень: 1 — основы; статус: [У] установлено

Нужно знать: Уравнения Фридмана

Куда дальше: Эффекты Унру и Хокинга (в работе), Инфляция — проблемы и предсказания (в работе), Будущее ускоряющейся Вселенной (в работе)

В расширяющейся Вселенной нет единственного «расстояния до галактики»: светимость, угловой размер и время прохождения света связаны с расстоянием по-разному, и для далёких объектов разница достигает порядков величины. Кроме того, у ΛCDM есть горизонты: часть Вселенной мы не видим никогда, а с частью, которую видим, уже не сможем обменяться сигналом. Эти горизонты определяют, что в принципе наблюдаемо и достижимо из нашей точки, — исходные данные для тем о далёком будущем.

Сопутствующее расстояние

Свет распространяется по радиальной изотропной геодезической метрики ФЛРУ ($c = 1$): $\dd t = a\,\dd\chi$, где $\chi$ — сопутствующая радиальная координата в форме $\dd s^2 = \dd t^2 - a^2[\dd\chi^2 + S_\kappa^2(\chi)\dd\Omega^2]$ (тема «Метрика Фридмана–Леметра–Робертсона–Уокера»).

Определение 1 Сопутствующее расстояние до источника с красным смещением $z$ — \[ \chi(z) = \int_{t_e}^{t_0}\frac{\dd t}{a} = \int_0^z\frac{\dd z'}{H(z')} , \] равное собственному расстоянию до него сегодня (при $a_0 = 1$). Расстояние поперечного движения $d_M = S_\kappa(\chi)$: $\sin(\chi\sqrt{\kappa})/\sqrt{\kappa}$, $\chi$ или $\operatorname{sh}(\chi\sqrt{|\kappa|})/\sqrt{|\kappa|}$ при $\kappa > 0$, $= 0$, $< 0$.

Второе равенство следует из $\dd z = -\dd a/a^2$ и $\dd t = \dd a/(aH)$. Посчитаем его для опорной космологии Planck18 (плоская, $d_M = \chi$), используя функцию $E(z) = H/H_0$ из astropy (она учитывает массивные нейтрино), и сравним с готовой функцией astropy:

import math

import astropy.constants as const
import astropy.units as u
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import sympy as sp
from astropy.cosmology import Planck18
from scipy.integrate import cumulative_trapezoid, quad
from scipy.optimize import brentq, minimize_scalar

D_H = (const.c / Planck18.H0).to(u.Gpc).value     # хаббловское расстояние c/H₀, Гпк
GLY_PER_GPC = (1 * u.Gpc).to(u.lyr).value / 1e9  # млрд св. лет в Гпк

def E(a):
    """H(a)/H₀ модели Planck18."""
    return Planck18.efunc(1 / a - 1)

def chi(a1, a2=1.0):
    """Сопутствующее расстояние, пройденное светом от a1 до a2, Гпк."""
    return D_H * quad(lambda a: 1 / (a**2 * E(a)), a1, a2, epsrel=1e-10, limit=200)[0]

for z in (0.1, 1, 3, 1100):
    own, ref = chi(1 / (1 + z)), Planck18.comoving_distance(z).to(u.Gpc).value
    print(f"z = {z:6}: χ = {own:7.4f} Гпк (astropy: {ref:7.4f})")

z =    0.1: χ =  0.4326 Гпк (astropy:  0.4326)
z =      1: χ =  3.3956 Гпк (astropy:  3.3956)
z =      3: χ =  6.5040 Гпк (astropy:  6.5040)
z =   1100: χ = 13.8863 Гпк (astropy: 13.8863)

Фотометрическое и угловое расстояния

Измеряют не $\chi$, а поток и угловой размер.

Определение 2 Фотометрическое расстояние $d_L$ определяется так, чтобы поток от источника светимости $L$ был $F = L/(4\pi d_L^2)$. Угловое расстояние $d_A$ — так, чтобы объект поперечного размера $\ell$ имел угловой размер $\theta = \ell/d_A$.

Свет, испущенный в момент $t_e$, сегодня распределён по сфере площади $4\pi d_M^2$. Каждый фотон потерял энергию в $(1+z)$ раз, а темп их прихода замедлен в $(1+z)$ раз (космологическое замедление времени). Поэтому $F = L/[4\pi d_M^2(1+z)^2]$: \[ d_L = (1 + z)\,d_M . \] Угловой размер: концы объекта в момент испускания находились на собственном расстоянии $\ell = a(t_e)\,d_M\,\theta$, так что \[ d_A = \frac{d_M}{1 + z}, \qquad d_L = (1 + z)^2 d_A . \] Последнее — соотношение Этерингтона (1933); оно верно в любой метрической теории, где фотоны распространяются по изотропным геодезическим и сохраняется их число У, и его проверяют по сверхновым и БАО как тест на поглощение света или «экзотику» У.

zz = np.array([0.5, 1.0, 1.6, 3.0, 10.0])
d_L = Planck18.luminosity_distance(zz).to(u.Gpc).value
d_A = Planck18.angular_diameter_distance(zz).to(u.Gpc).value
print("Этерингтон, max |d_L/((1+z)² d_A) − 1| =", f"{np.max(np.abs(d_L / ((1 + zz)**2 * d_A) - 1)):.1e}")
for z, dl, da in zip(zz, d_L, d_A):
    print(f"z = {z:4}: d_L = {dl:6.2f} Гпк,  χ = {dl / (1 + z):5.2f},  d_A = {da:5.3f} Гпк")

res = minimize_scalar(lambda z: -Planck18.angular_diameter_distance(z).value,
                      bounds=(0.5, 4), method="bounded")
z_dA_max, dA_max = res.x, -res.fun / 1e3
print(f"максимум d_A: z = {z_dA_max:.2f}, d_A = {dA_max:.2f} Гпк")

Этерингтон, max |d_L/((1+z)² d_A) − 1| = 1.1e-16
z =  0.5: d_L =   2.92 Гпк,  χ =  1.95,  d_A = 1.298 Гпк
z =  1.0: d_L =   6.79 Гпк,  χ =  3.40,  d_A = 1.698 Гпк
z =  1.6: d_L =  12.12 Гпк,  χ =  4.66,  d_A = 1.792 Гпк
z =  3.0: d_L =  26.02 Гпк,  χ =  6.50,  d_A = 1.626 Гпк
z = 10.0: d_L = 106.00 Гпк,  χ =  9.64,  d_A = 0.876 Гпк
максимум d_A: z = 1.59, d_A = 1.79 Гпк

Угловое расстояние не монотонно: оно максимально при $z \approx 1{,}6$, а дальше убывает — объект фиксированного размера на $z = 5$ виден под бо́льшим углом, чем на $z = 1{,}6$. Причина: свет от далёкого объекта испущен, когда Вселенная была меньше и объект занимал бо́льшую долю «неба» вокруг нас У. Фотометрическое расстояние, напротив, растёт быстрее $\chi$: далёкие источники тусклее, чем в евклидовом пространстве.

Горизонты

Определение 3 Горизонт частиц в момент $t$ — сопутствующее расстояние, которое свет успел пройти с начала расширения: $\chi_p(t) = \int_0^t \dd t'/a = \eta(t)$ (конформное время). Это граница наблюдаемой Вселенной: более далёкие частицы ещё не могли быть причинно связаны с нами.

Горизонт событий — сопутствующее расстояние, которое свет ещё успеет пройти от момента $t$ до бесконечного будущего: $\chi_e(t) = \int_t^\infty \dd t'/a$. События за ним не повлияют на нас никогда; сигнал, посланный нами сейчас, не дойдёт до объектов за ним. Горизонт событий существует, только если интеграл сходится — например, при ускоренном расширении.

Хаббловская сфера — расстояние $c/H$, на котором скорость удаления $v = H D$ ($D = a\chi$ — собственное расстояние) равна скорости света. Это не горизонт: свет от объектов за ней до нас доходит.

chi_p0 = chi(0.0)                                     # горизонт частиц сегодня
chi_e0 = D_H * quad(lambda a: 1 / (a**2 * E(a)), 1, np.inf, limit=200)[0]
z_e = brentq(lambda z: chi(1 / (1 + z)) - chi_e0, 0.5, 5)
z_H = brentq(lambda z: chi(1 / (1 + z)) - D_H, 0.5, 5)
for name, val in [("горизонт частиц χ_p", chi_p0), ("горизонт событий χ_e", chi_e0),
                  ("хаббловский радиус c/H₀", D_H), ("η_∞ = χ_p + χ_e", chi_p0 + chi_e0)]:
    print(f"{name:25s}: {val:6.2f} Гпк = {val * GLY_PER_GPC:5.1f} млрд св. лет")
print(f"красное смещение горизонта событий сегодня: z_e = {z_e:.2f}")
print(f"скорость удаления равна c при z = {z_H:.2f}")
print(f"доля сопутствующего объёма видимой Вселенной внутри горизонта событий: "
      f"{(chi_e0 / chi_p0)**3:.3f}")

горизонт частиц χ_p      :  14.17 Гпк =  46.2 млрд св. лет
горизонт событий χ_e     :   5.08 Гпк =  16.6 млрд св. лет
хаббловский радиус c/H₀  :   4.43 Гпк =  14.5 млрд св. лет
η_∞ = χ_p + χ_e          :  19.25 Гпк =  62.8 млрд св. лет
красное смещение горизонта событий сегодня: z_e = 1.85
скорость удаления равна c при z = 1.48
доля сопутствующего объёма видимой Вселенной внутри горизонта событий: 0.046

Числа требуют аккуратного прочтения.

Наблюдаемая Вселенная имеет сегодня радиус 14,2 Гпк = 46 млрд св. лет, хотя её возраст 13,8 млрд лет: это сегодняшнее собственное расстояние до частиц, свет от которых (точнее, от их окрестности в момент $t \approx 0$) доходит до нас сейчас У. Реликтовое излучение ($z = 1100$) пришло с расстояния 13,9 Гпк — почти с горизонта.
Горизонт событий сегодня — 5,1 Гпк, $z_e = 1{,}85$. Галактики с $z > 1{,}85$ мы видим (их старый свет до нас доходит), но свет, который они испускают сейчас, не дойдёт до нас никогда, и наш сигнал не дойдёт до них У — в рамках ΛCDM; если тёмная энергия не постоянна, горизонт событий иной или его нет Г (тема «Меняется ли тёмная энергия?»).
Объекты с $1{,}48 < z < 1{,}85$ удаляются быстрее света и тем не менее ещё достижимы: скорость удаления $HD$ — не скорость в локально инерциальной системе, и ограничения СТО на неё не распространяются (Дэвис и Лайнуивер, 2004).
Достижимо для нас (в принципе, сигналом со скоростью света) только 4,6 % сопутствующего объёма видимой Вселенной, и эта доля уменьшается.
Конформное время сходится: $\eta_\infty = \chi_p + \chi_e = 19{,}2$ Гпк (63 млрд св. лет). Это предельный сопутствующий радиус области, которую мы когда-либо увидим, даже ждать бесконечно У (в рамках ΛCDM).

Пространственно-временная диаграмма

Построим историю горизонтов численно: $t(a) = \int_0^a \dd a/(aH)$, $\eta(a) = \int_0^a \dd a/(a^2H)$.

H0_inv = (1 / Planck18.H0).to(u.Gyr).value                  # 1/H₀ в млрд лет
a_grid = np.logspace(-6, 2.5, 6000)
H_grid = E(a_grid) / H0_inv                                 # H(a), 1/млрд лет
# начальные значения — из эпохи излучения (H ∝ a⁻²): t = 1/(2H), η = 1/(aH)
t_grid = cumulative_trapezoid(1 / (a_grid * H_grid), a_grid, initial=0) + 1 / (2 * H_grid[0])
eta_grid = cumulative_trapezoid(1 / (a_grid**2 * H_grid), a_grid, initial=0) \
    + 1 / (a_grid[0] * H_grid[0])
GLY = GLY_PER_GPC
eta_inf = (chi_p0 + chi_e0) * GLY                           # в млрд св. лет (c = 1)
t0_num, eta0 = np.interp(1.0, a_grid, t_grid), np.interp(1.0, a_grid, eta_grid)

past = a_grid <= 1
cone = eta0 - eta_grid                                      # сопутствующее расстояние светового конуса
event = eta_inf - eta_grid
hubble = 1 / (a_grid * H_grid)                              # c/(aH) — сопутствующий радиус хаббловской сферы
chi_gal = {z: chi(1 / (1 + z)) * GLY for z in (1, 3)}

fig, (ax1, ax2) = plt.subplots(1, 2, figsize=(9, 4.4))
ax1.plot(t_grid[past], a_grid[past] * cone[past], "k", label="прошлый световой конус")
ax1.plot(t_grid, a_grid * event, color="tab:orange", label="горизонт событий")
ax1.plot(t_grid, a_grid * eta_grid, color="tab:blue", label="горизонт частиц")
ax1.plot(t_grid, a_grid * hubble, "--", color="tab:green", label="хаббловская сфера")
for z, cg in chi_gal.items():
    ax1.plot(t_grid, a_grid * cg, color="0.6", lw=0.8)
    ax1.text(29, np.interp(29, t_grid, a_grid) * cg, f"z = {z}", fontsize=8, color="0.4",
             va="bottom", ha="right")
ax1.set(xlabel="t, млрд лет", ylabel="собственное расстояние D, млрд св. лет",
        xlim=(0, 30), ylim=(0, 80))
ax2.plot(cone[past], eta_grid[past], "k")
ax2.plot(event, eta_grid, color="tab:orange")
ax2.plot(eta_grid, eta_grid, color="tab:blue")
ax2.plot(hubble, eta_grid, "--", color="tab:green")
for z, cg in chi_gal.items():
    ax2.axvline(cg, color="0.6", lw=0.8)
    ax2.text(cg + 0.8, 3, f"z = {z}", fontsize=8, color="0.4", rotation=90)
ax2.axhline(eta_inf, color="0.3", lw=0.6, ls=":")
ax2.text(1, eta_inf + 0.8, r"$\eta_\infty$", fontsize=9)
ax2.set(xlabel="сопутствующее расстояние χ, млрд св. лет", ylabel="конформное время η, млрд лет",
        xlim=(0, 70), ylim=(0, 70))
ax1.axvline(t0_num, color="0.3", lw=0.6)
ax2.axhline(eta0, color="0.3", lw=0.6)
ax1.legend(loc="upper left", fontsize=8)
for ax in (ax1, ax2):
    ax.grid(alpha=0.2)
fig.tight_layout()
print(f"сегодня: t₀ = {t0_num:.2f} млрд лет, η₀ = {eta0:.1f} млрд лет (= χ_p в св. годах)")

сегодня: t₀ = 13.79 млрд лет, η₀ = 46.2 млрд лет (= χ_p в св. годах)

Рисунок 1: Горизонты в ΛCDM (Planck 2018). Слева — собственные расстояния D = aχ как функция космического времени; справа — сопутствующие расстояния как функция конформного времени η, где свет идёт под 45°. Чёрная — наш прошлый световой конус, оранжевая — горизонт событий, синяя — горизонт частиц, зелёная штриховая — хаббловская сфера c/H. Серые — мировые линии галактик с z = 1 и z = 3. Вертикальная линия — сегодня.

На правой панели световые лучи — прямые под 45°, и видно главное: горизонт событий (оранжевая) сближается с нашей мировой линией, а конформное время ограничено $\eta_\infty$. На левой видно, что хаббловская сфера и горизонт событий в будущем сливаются при $c/H_\Lambda = c/(H_0\sqrt{\Omega_\Lambda})$, и галактики одна за другой уходят за горизонт событий (тема «Будущее ускоряющейся Вселенной»). Прошлый световой конус в собственных расстояниях имеет каплевидную форму: свет от самых далёких источников сначала удалялся от нас, потому что был испущен за хаббловской сферой.

Физика и наблюдательный статус

Соотношения $d_L = (1+z)\chi$, $d_A = \chi/(1+z)$ — следствие метрики ФЛРУ и сохранения числа фотонов У; на них основаны все измерения $H(z)$ по сверхновым (фотометрические расстояния) и БАО (угловые расстояния и $H(z)$).
Значения горизонтов зависят от модели. Горизонт частиц определяется прошлым и мало чувствителен к тёмной энергии; горизонт событий определяется будущим расширением и существует, только если оно остаётся ускоренным. В ΛCDM ($w = -1$ навсегда) он есть У; экстраполяция на десятки миллиардов лет вперёд — гипотеза о постоянстве $\Lambda$ Г.
Утверждения о том, что находится за горизонтом частиц (например, однородна ли Вселенная там), наблюдениями не проверяемы С; их делают только как следствия теорий (инфляции).

Итоги

$\chi(z) = \int_0^z \dd z/H$; $d_L = (1+z)d_M$, $d_A = d_M/(1+z)$, $d_L = (1+z)^2d_A$ (Этерингтон).
$d_A$ максимально при $z \approx 1{,}6$ ($1{,}79$ Гпк для Planck18).
Сегодня (Planck18): горизонт частиц 14,2 Гпк (46 млрд св. лет), горизонт событий 5,1 Гпк (16,6 млрд св. лет, $z_e = 1{,}85$), хаббловский радиус 4,43 Гпк (14,5 млрд св. лет, $z = 1{,}48$).
Достижимо 4,6 % сопутствующего объёма видимой Вселенной; когда-либо наблюдаемое ограничено $\eta_\infty = 19{,}2$ Гпк.

Упражнения

Для модели Эйнштейна–де Ситтера (только пыль, $\kappa = 0$) найдите $d_A(z)$ и красное смещение его максимума.
Найдите собственный радиус горизонта частиц $D_p = a(t)\chi_p(t)$ в плоской вселенной с $w = \text{const} > -1/3$. Чему он равен в эпоху излучения и в эпоху вещества в единицах $ct$?
Под каким углом видна галактика поперечником 10 кпк на $z = 1$, $1{,}6$ и $5$ (Planck18)?
Покажите, что в де ситтеровской вселенной ($a \propto e^{Ht}$) собственный радиус горизонта событий постоянен и равен $c/H$. Во сколько раз сегодняшний собственный радиус горизонта событий в ΛCDM больше хаббловского?
Мы отправляем сегодня радиосигнал к галактике с $z = 1$. Через сколько миллиардов лет он придёт? Каким будет масштабный фактор в этот момент?

Ответы

$\chi = \frac{2c}{H_0}\left[1 - (1+z)^{-1/2}\right]$, $d_A = \chi/(1+z)$; максимум при $z = 5/4$, $d_A^{\max} = \frac{8}{27}\frac{c}{H_0}$.
$D_p = \frac{3(1+w)}{1+3w}\,ct$: $2ct$ для излучения, $3ct$ для вещества.
1,21″, 1,15″ и 1,56″: на $z = 5$ галактика видна под бо́льшим углом, чем на $z = 1{,}6$.
$\chi_e = \int_t^\infty e^{-Ht'}\dd t' = e^{-Ht}/H$, $a\chi_e = 1/H$. В ΛCDM сегодня $\chi_e/(c/H_0) = 1{,}15$; асимптотически отношение стремится к 1, а сам радиус — к $c/(H_0\sqrt{\Omega_\Lambda}) = 5{,}3$ Гпк.
Сигнал пройдёт сопутствующее расстояние $\chi(z{=}1) = 3{,}4$ Гпк и придёт через 18,9 млрд лет, при $a = 3{,}2$; при $z = 1{,}85$ и дальше — не придёт никогда.

Литература

Hogg D. W. Distance measures in cosmology. arXiv:astro-ph/9905116 (1999).
Etherington I. M. H. On the definition of distance in general relativity. Phil. Mag. 15, 761 (1933); перепечатано: Gen. Relativ. Gravit. 39, 1055 (2007).
Rindler W. Visual horizons in world models. Mon. Not. R. Astron. Soc. 116, 662 (1956); перепечатано: Gen. Relativ. Gravit. 34, 133 (2002).
Davis T. M., Lineweaver C. H. Expanding confusion: common misconceptions of cosmological horizons and the superluminal expansion of the Universe. Publ. Astron. Soc. Aust. 21, 97 (2004), arXiv:astro-ph/0310808.
Горбунов Д. С., Рубаков В. А. Введение в теорию ранней Вселенной: Теория горячего Большого взрыва. — М.: ЛКИ, 2008. Гл. 3.
Planck Collaboration. Planck 2018 results. VI. Cosmological parameters. Astron. Astrophys. 641, A6 (2020), arXiv:1807.06209.

--- title: "Расстояния и горизонты" topic: distances-horizons order: 3 description: "Сопутствующее расстояние и расстояние поперечного движения; фотометрическое и угловое расстояния, соотношение Этерингтона, максимум углового расстояния; горизонт частиц, горизонт событий и хаббловская сфера в ΛCDM; пространственно-временная диаграмма; какая часть видимой Вселенной ещё достижима" --- В расширяющейся Вселенной нет единственного «расстояния до галактики»: светимость, угловой размер и время прохождения света связаны с расстоянием по-разному, и для далёких объектов разница достигает порядков величины. Кроме того, у ΛCDM есть горизонты: часть Вселенной мы не видим никогда, а с частью, которую видим, уже не сможем обменяться сигналом. Эти горизонты определяют, что в принципе наблюдаемо и достижимо из нашей точки, — исходные данные для тем о далёком будущем. ## Сопутствующее расстояние Свет распространяется по радиальной изотропной геодезической метрики ФЛРУ ($c = 1$): $\dd t = a\,\dd\chi$, где $\chi$ — сопутствующая радиальная координата в форме $\dd s^2 = \dd t^2 - a^2[\dd\chi^2 + S_\kappa^2(\chi)\dd\Omega^2]$ (тема «Метрика Фридмана–Леметра–Робертсона–Уокера»). ::: {#def-comoving-distance} **Сопутствующее расстояние** до источника с красным смещением $z$ — $$ \chi(z) = \int_{t_e}^{t_0}\frac{\dd t}{a} = \int_0^z\frac{\dd z'}{H(z')} , $$ равное собственному расстоянию до него *сегодня* (при $a_0 = 1$). **Расстояние поперечного движения** $d_M = S_\kappa(\chi)$: $\sin(\chi\sqrt{\kappa})/\sqrt{\kappa}$, $\chi$ или $\operatorname{sh}(\chi\sqrt{|\kappa|})/\sqrt{|\kappa|}$ при $\kappa > 0$, $= 0$, $< 0$. ::: Второе равенство следует из $\dd z = -\dd a/a^2$ и $\dd t = \dd a/(aH)$. Посчитаем его для опорной космологии `Planck18` (плоская, $d_M = \chi$), используя функцию $E(z) = H/H_0$ из astropy (она учитывает массивные нейтрино), и сравним с готовой функцией astropy: ```{python} import math import astropy.constants as const import astropy.units as u import matplotlib.pyplot as plt import numpy as np import sympy as sp from astropy.cosmology import Planck18 from scipy.integrate import cumulative_trapezoid, quad from scipy.optimize import brentq, minimize_scalar D_H = (const.c / Planck18.H0).to(u.Gpc).value # хаббловское расстояние c/H₀, Гпк GLY_PER_GPC = (1 * u.Gpc).to(u.lyr).value / 1e9 # млрд св. лет в Гпк def E(a): """H(a)/H₀ модели Planck18.""" return Planck18.efunc(1 / a - 1) def chi(a1, a2=1.0): """Сопутствующее расстояние, пройденное светом от a1 до a2, Гпк.""" return D_H * quad(lambda a: 1 / (a**2 * E(a)), a1, a2, epsrel=1e-10, limit=200)[0] for z in (0.1, 1, 3, 1100): own, ref = chi(1 / (1 + z)), Planck18.comoving_distance(z).to(u.Gpc).value print(f"z = {z:6}: χ = {own:7.4f} Гпк (astropy: {ref:7.4f})") ``` ## Фотометрическое и угловое расстояния Измеряют не $\chi$, а поток и угловой размер. ::: {#def-dl-da} **Фотометрическое расстояние** $d_L$ определяется так, чтобы поток от источника светимости $L$ был $F = L/(4\pi d_L^2)$. **Угловое расстояние** $d_A$ — так, чтобы объект поперечного размера $\ell$ имел угловой размер $\theta = \ell/d_A$. ::: Свет, испущенный в момент $t_e$, сегодня распределён по сфере площади $4\pi d_M^2$. Каждый фотон потерял энергию в $(1+z)$ раз, а темп их прихода замедлен в $(1+z)$ раз (космологическое замедление времени). Поэтому $F = L/[4\pi d_M^2(1+z)^2]$: $$ d_L = (1 + z)\,d_M . $$ Угловой размер: концы объекта в момент испускания находились на собственном расстоянии $\ell = a(t_e)\,d_M\,\theta$, так что $$ d_A = \frac{d_M}{1 + z}, \qquad d_L = (1 + z)^2 d_A . $$ Последнее — **соотношение Этерингтона** (1933); оно верно в любой метрической теории, где фотоны распространяются по изотропным геодезическим и сохраняется их число [У]{.status}, и его проверяют по сверхновым и БАО как тест на поглощение света или «экзотику» [У]{.status}. ```{python} zz = np.array([0.5, 1.0, 1.6, 3.0, 10.0]) d_L = Planck18.luminosity_distance(zz).to(u.Gpc).value d_A = Planck18.angular_diameter_distance(zz).to(u.Gpc).value print("Этерингтон, max |d_L/((1+z)² d_A) − 1| =", f"{np.max(np.abs(d_L / ((1 + zz)**2 * d_A) - 1)):.1e}") for z, dl, da in zip(zz, d_L, d_A): print(f"z = {z:4}: d_L = {dl:6.2f} Гпк, χ = {dl / (1 + z):5.2f}, d_A = {da:5.3f} Гпк") res = minimize_scalar(lambda z: -Planck18.angular_diameter_distance(z).value, bounds=(0.5, 4), method="bounded") z_dA_max, dA_max = res.x, -res.fun / 1e3 print(f"максимум d_A: z = {z_dA_max:.2f}, d_A = {dA_max:.2f} Гпк") ``` Угловое расстояние **не монотонно**: оно максимально при $z \approx 1{,}6$, а дальше убывает — объект фиксированного размера на $z = 5$ виден под *бо́льшим* углом, чем на $z = 1{,}6$. Причина: свет от далёкого объекта испущен, когда Вселенная была меньше и объект занимал бо́льшую долю «неба» вокруг нас [У]{.status}. Фотометрическое расстояние, напротив, растёт быстрее $\chi$: далёкие источники тусклее, чем в евклидовом пространстве. ## Горизонты ::: {#def-horizons} **Горизонт частиц** в момент $t$ — сопутствующее расстояние, которое свет успел пройти с начала расширения: $\chi_p(t) = \int_0^t \dd t'/a = \eta(t)$ (конформное время). Это граница наблюдаемой Вселенной: более далёкие частицы ещё не могли быть причинно связаны с нами. **Горизонт событий** — сопутствующее расстояние, которое свет ещё успеет пройти от момента $t$ до бесконечного будущего: $\chi_e(t) = \int_t^\infty \dd t'/a$. События за ним не повлияют на нас никогда; сигнал, посланный нами сейчас, не дойдёт до объектов за ним. Горизонт событий существует, только если интеграл сходится — например, при ускоренном расширении. **Хаббловская сфера** — расстояние $c/H$, на котором скорость удаления $v = H D$ ($D = a\chi$ — собственное расстояние) равна скорости света. Это не горизонт: свет от объектов за ней до нас доходит. ::: ```{python} chi_p0 = chi(0.0) # горизонт частиц сегодня chi_e0 = D_H * quad(lambda a: 1 / (a**2 * E(a)), 1, np.inf, limit=200)[0] z_e = brentq(lambda z: chi(1 / (1 + z)) - chi_e0, 0.5, 5) z_H = brentq(lambda z: chi(1 / (1 + z)) - D_H, 0.5, 5) for name, val in [("горизонт частиц χ_p", chi_p0), ("горизонт событий χ_e", chi_e0), ("хаббловский радиус c/H₀", D_H), ("η_∞ = χ_p + χ_e", chi_p0 + chi_e0)]: print(f"{name:25s}: {val:6.2f} Гпк = {val * GLY_PER_GPC:5.1f} млрд св. лет") print(f"красное смещение горизонта событий сегодня: z_e = {z_e:.2f}") print(f"скорость удаления равна c при z = {z_H:.2f}") print(f"доля сопутствующего объёма видимой Вселенной внутри горизонта событий: " f"{(chi_e0 / chi_p0)**3:.3f}") ``` Числа требуют аккуратного прочтения. - Наблюдаемая Вселенная имеет сегодня радиус 14,2 Гпк = 46 млрд св. лет, хотя её возраст 13,8 млрд лет: это сегодняшнее собственное расстояние до частиц, свет от которых (точнее, от их окрестности в момент $t \approx 0$) доходит до нас сейчас [У]{.status}. Реликтовое излучение ($z = 1100$) пришло с расстояния 13,9 Гпк — почти с горизонта. - Горизонт событий сегодня — 5,1 Гпк, $z_e = 1{,}85$. Галактики с $z > 1{,}85$ мы видим (их старый свет до нас доходит), но свет, который они испускают сейчас, не дойдёт до нас никогда, и наш сигнал не дойдёт до них [У]{.status} — в рамках ΛCDM; если тёмная энергия не постоянна, горизонт событий иной или его нет [Г]{.status} (тема «Меняется ли тёмная энергия?»). - Объекты с $1{,}48 < z < 1{,}85$ удаляются быстрее света и тем не менее ещё достижимы: скорость удаления $HD$ — не скорость в локально инерциальной системе, и ограничения СТО на неё не распространяются (Дэвис и Лайнуивер, 2004). - Достижимо для нас (в принципе, сигналом со скоростью света) только 4,6 % сопутствующего объёма видимой Вселенной, и эта доля уменьшается. - Конформное время сходится: $\eta_\infty = \chi_p + \chi_e = 19{,}2$ Гпк (63 млрд св. лет). Это предельный сопутствующий радиус области, которую мы когда-либо увидим, даже ждать бесконечно [У]{.status} (в рамках ΛCDM). ## Пространственно-временная диаграмма Построим историю горизонтов численно: $t(a) = \int_0^a \dd a/(aH)$, $\eta(a) = \int_0^a \dd a/(a^2H)$. ```{python} #| label: fig-horizons #| fig-cap: "Горизонты в ΛCDM (Planck 2018). Слева — собственные расстояния D = aχ как функция космического времени; справа — сопутствующие расстояния как функция конформного времени η, где свет идёт под 45°. Чёрная — наш прошлый световой конус, оранжевая — горизонт событий, синяя — горизонт частиц, зелёная штриховая — хаббловская сфера c/H. Серые — мировые линии галактик с z = 1 и z = 3. Вертикальная линия — сегодня." H0_inv = (1 / Planck18.H0).to(u.Gyr).value # 1/H₀ в млрд лет a_grid = np.logspace(-6, 2.5, 6000) H_grid = E(a_grid) / H0_inv # H(a), 1/млрд лет # начальные значения — из эпохи излучения (H ∝ a⁻²): t = 1/(2H), η = 1/(aH) t_grid = cumulative_trapezoid(1 / (a_grid * H_grid), a_grid, initial=0) + 1 / (2 * H_grid[0]) eta_grid = cumulative_trapezoid(1 / (a_grid**2 * H_grid), a_grid, initial=0) \ + 1 / (a_grid[0] * H_grid[0]) GLY = GLY_PER_GPC eta_inf = (chi_p0 + chi_e0) * GLY # в млрд св. лет (c = 1) t0_num, eta0 = np.interp(1.0, a_grid, t_grid), np.interp(1.0, a_grid, eta_grid) past = a_grid <= 1 cone = eta0 - eta_grid # сопутствующее расстояние светового конуса event = eta_inf - eta_grid hubble = 1 / (a_grid * H_grid) # c/(aH) — сопутствующий радиус хаббловской сферы chi_gal = {z: chi(1 / (1 + z)) * GLY for z in (1, 3)} fig, (ax1, ax2) = plt.subplots(1, 2, figsize=(9, 4.4)) ax1.plot(t_grid[past], a_grid[past] * cone[past], "k", label="прошлый световой конус") ax1.plot(t_grid, a_grid * event, color="tab:orange", label="горизонт событий") ax1.plot(t_grid, a_grid * eta_grid, color="tab:blue", label="горизонт частиц") ax1.plot(t_grid, a_grid * hubble, "--", color="tab:green", label="хаббловская сфера") for z, cg in chi_gal.items(): ax1.plot(t_grid, a_grid * cg, color="0.6", lw=0.8) ax1.text(29, np.interp(29, t_grid, a_grid) * cg, f"z = {z}", fontsize=8, color="0.4", va="bottom", ha="right") ax1.set(xlabel="t, млрд лет", ylabel="собственное расстояние D, млрд св. лет", xlim=(0, 30), ylim=(0, 80)) ax2.plot(cone[past], eta_grid[past], "k") ax2.plot(event, eta_grid, color="tab:orange") ax2.plot(eta_grid, eta_grid, color="tab:blue") ax2.plot(hubble, eta_grid, "--", color="tab:green") for z, cg in chi_gal.items(): ax2.axvline(cg, color="0.6", lw=0.8) ax2.text(cg + 0.8, 3, f"z = {z}", fontsize=8, color="0.4", rotation=90) ax2.axhline(eta_inf, color="0.3", lw=0.6, ls=":") ax2.text(1, eta_inf + 0.8, r"$\eta_\infty$", fontsize=9) ax2.set(xlabel="сопутствующее расстояние χ, млрд св. лет", ylabel="конформное время η, млрд лет", xlim=(0, 70), ylim=(0, 70)) ax1.axvline(t0_num, color="0.3", lw=0.6) ax2.axhline(eta0, color="0.3", lw=0.6) ax1.legend(loc="upper left", fontsize=8) for ax in (ax1, ax2): ax.grid(alpha=0.2) fig.tight_layout() print(f"сегодня: t₀ = {t0_num:.2f} млрд лет, η₀ = {eta0:.1f} млрд лет (= χ_p в св. годах)") ``` На правой панели световые лучи — прямые под 45°, и видно главное: горизонт событий (оранжевая) сближается с нашей мировой линией, а конформное время ограничено $\eta_\infty$. На левой видно, что хаббловская сфера и горизонт событий в будущем сливаются при $c/H_\Lambda = c/(H_0\sqrt{\Omega_\Lambda})$, и галактики одна за другой уходят за горизонт событий (тема «Будущее ускоряющейся Вселенной»). Прошлый световой конус в собственных расстояниях имеет каплевидную форму: свет от самых далёких источников сначала *удалялся* от нас, потому что был испущен за хаббловской сферой. ## Физика и наблюдательный статус - Соотношения $d_L = (1+z)\chi$, $d_A = \chi/(1+z)$ — следствие метрики ФЛРУ и сохранения числа фотонов [У]{.status}; на них основаны все измерения $H(z)$ по сверхновым (фотометрические расстояния) и БАО (угловые расстояния и $H(z)$). - Значения горизонтов зависят от модели. Горизонт частиц определяется прошлым и мало чувствителен к тёмной энергии; горизонт событий определяется *будущим* расширением и существует, только если оно остаётся ускоренным. В ΛCDM ($w = -1$ навсегда) он есть [У]{.status}; экстраполяция на десятки миллиардов лет вперёд — гипотеза о постоянстве $\Lambda$ [Г]{.status}. - Утверждения о том, что находится за горизонтом частиц (например, однородна ли Вселенная там), наблюдениями не проверяемы [С]{.status}; их делают только как следствия теорий (инфляции). ## Итоги - $\chi(z) = \int_0^z \dd z/H$; $d_L = (1+z)d_M$, $d_A = d_M/(1+z)$, $d_L = (1+z)^2d_A$ (Этерингтон). - $d_A$ максимально при $z \approx 1{,}6$ ($1{,}79$ Гпк для Planck18). - Сегодня (Planck18): горизонт частиц 14,2 Гпк (46 млрд св. лет), горизонт событий 5,1 Гпк (16,6 млрд св. лет, $z_e = 1{,}85$), хаббловский радиус 4,43 Гпк (14,5 млрд св. лет, $z = 1{,}48$). - Достижимо 4,6 % сопутствующего объёма видимой Вселенной; когда-либо наблюдаемое ограничено $\eta_\infty = 19{,}2$ Гпк. ## Упражнения 1. Для модели Эйнштейна–де Ситтера (только пыль, $\kappa = 0$) найдите $d_A(z)$ и красное смещение его максимума. 2. Найдите собственный радиус горизонта частиц $D_p = a(t)\chi_p(t)$ в плоской вселенной с $w = \text{const} > -1/3$. Чему он равен в эпоху излучения и в эпоху вещества в единицах $ct$? 3. Под каким углом видна галактика поперечником 10 кпк на $z = 1$, $1{,}6$ и $5$ (Planck18)? 4. Покажите, что в де ситтеровской вселенной ($a \propto e^{Ht}$) собственный радиус горизонта событий постоянен и равен $c/H$. Во сколько раз сегодняшний собственный радиус горизонта событий в ΛCDM больше хаббловского? 5. Мы отправляем сегодня радиосигнал к галактике с $z = 1$. Через сколько миллиардов лет он придёт? Каким будет масштабный фактор в этот момент? ::: {.callout-tip collapse="true"} ## Ответы 1. $\chi = \frac{2c}{H_0}\left[1 - (1+z)^{-1/2}\right]$, $d_A = \chi/(1+z)$; максимум при $z = 5/4$, $d_A^{\max} = \frac{8}{27}\frac{c}{H_0}$. 2. $D_p = \frac{3(1+w)}{1+3w}\,ct$: $2ct$ для излучения, $3ct$ для вещества. 3. 1,21″, 1,15″ и 1,56″: на $z = 5$ галактика видна под бо́льшим углом, чем на $z = 1{,}6$. 4. $\chi_e = \int_t^\infty e^{-Ht'}\dd t' = e^{-Ht}/H$, $a\chi_e = 1/H$. В ΛCDM сегодня $\chi_e/(c/H_0) = 1{,}15$; асимптотически отношение стремится к 1, а сам радиус — к $c/(H_0\sqrt{\Omega_\Lambda}) = 5{,}3$ Гпк. 5. Сигнал пройдёт сопутствующее расстояние $\chi(z{=}1) = 3{,}4$ Гпк и придёт через 18,9 млрд лет, при $a = 3{,}2$; при $z = 1{,}85$ и дальше — не придёт никогда. ::: ## Литература - Hogg D. W. Distance measures in cosmology. arXiv:astro-ph/9905116 (1999). - Etherington I. M. H. On the definition of distance in general relativity. *Phil. Mag.* **15**, 761 (1933); перепечатано: *Gen. Relativ. Gravit.* **39**, 1055 (2007). - Rindler W. Visual horizons in world models. *Mon. Not. R. Astron. Soc.* **116**, 662 (1956); перепечатано: *Gen. Relativ. Gravit.* **34**, 133 (2002). - Davis T. M., Lineweaver C. H. Expanding confusion: common misconceptions of cosmological horizons and the superluminal expansion of the Universe. *Publ. Astron. Soc. Aust.* **21**, 97 (2004), arXiv:astro-ph/0310808. - Горбунов Д. С., Рубаков В. А. *Введение в теорию ранней Вселенной: Теория горячего Большого взрыва.* — М.: ЛКИ, 2008. Гл. 3. - Planck Collaboration. Planck 2018 results. VI. Cosmological parameters. *Astron. Astrophys.* **641**, A6 (2020), arXiv:1807.06209. ```{python} #| echo: false #| output: false # Проверка формул и ответов (не показывается на странице) for z in (0.1, 1, 3, 1100): assert math.isclose(chi(1 / (1 + z)), Planck18.comoving_distance(z).to(u.Gpc).value, rel_tol=1e-5) assert np.max(np.abs(d_L / ((1 + zz)**2 * d_A) - 1)) < 1e-12 assert round(z_dA_max, 1) == 1.6 and round(dA_max, 2) == 1.79 assert round(chi_p0, 1) == 14.2 and round(chi_p0 * GLY) == 46 assert round(chi_e0, 1) == 5.1 and round(chi_e0 * GLY, 1) == 16.6 assert round(D_H, 2) == 4.43 and round(D_H * GLY, 1) == 14.5 assert round(z_e, 2) == 1.85 and round(z_H, 2) == 1.48 assert round((chi_e0 / chi_p0)**3, 3) == 0.046 assert round(chi_p0 + chi_e0, 1) == 19.2 and round((chi_p0 + chi_e0) * GLY) == 63 assert round(chi(1 / 1101), 1) == 13.9 assert abs(t0_num - Planck18.age(0).to(u.Gyr).value) < 0.01 and abs(eta0 - chi_p0 * GLY) < 0.05 # 1: Эйнштейн–де Ситтер zs = sp.Symbol("z", positive=True) chi_eds = sp.integrate((1 + sp.Symbol("x"))**sp.Rational(-3, 2), (sp.Symbol("x"), 0, zs)) assert sp.simplify(chi_eds - 2 * (1 - 1 / sp.sqrt(1 + zs))) == 0 dA_eds = chi_eds / (1 + zs) z_star = sp.solve(sp.diff(dA_eds, zs), zs) assert z_star == [sp.Rational(5, 4)] and sp.simplify(dA_eds.subs(zs, z_star[0]) - sp.Rational(8, 27)) == 0 # 2 w, t_ = sp.symbols("w t", positive=True) n = 2 / (3 * (1 + w)) Dp = t_**n * sp.integrate(sp.Symbol("s")**(-n), (sp.Symbol("s"), 0, t_), conds="none") ratio = sp.simplify(Dp / t_) assert sp.simplify(ratio - 3 * (1 + w) / (1 + 3 * w)) == 0 assert ratio.subs(w, sp.Rational(1, 3)) == 2 and ratio.subs(w, 0) == 3 # 3 ang = [(10 * u.kpc / Planck18.angular_diameter_distance(z) * u.rad).to(u.arcsec).value for z in (1, 1.6, 5)] assert [round(x, 2) for x in ang] == [1.21, 1.15, 1.56] # 4 assert round(chi_e0 / D_H, 2) == 1.15 and round(D_H / math.sqrt(Planck18.Ode0), 1) == 5.3 # 5: сигнал, отправленный сегодня, проходит χ(a) = ∫₁^a da/(a²H) chi1 = chi(0.5) a_arr = brentq(lambda a: D_H * quad(lambda x: 1 / (x**2 * E(x)), 1, a)[0] - chi1, 1, 100) t_arr = H0_inv * quad(lambda x: 1 / (x * E(x)), 1, a_arr)[0] assert round(chi1, 1) == 3.4 and round(t_arr, 1) == 18.9 and round(a_arr, 1) == 3.2 ```